Funkcja h przyporządkowuje

[sabcia1]

Funkcja h przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n liczbę wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x^{2} - 4nx + 3 n^{2} \le 0}\) z niewiadomą x.
a) Oblicz h(4)
b) Wyznacz wzór funkcji h


w a) wyszedł mi przedział należący od minus nieskończoności do czterech włącznie i tak się zastanawiam czy to dobrze, natomiast nie za bardzo wiem jak zrobić b)

[rsasquatch]

b)
rozwiązujemy nierówność
\(\displaystyle{ x^2-4nx+3n^2 \le 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \Delta}=2n \wedge x_1=n \wedge x_2=3n}\)
To zbiór liczb naturalnych będących rozwiązaniem tej nierówności są to wszystkie liczby naturalne z przedziału \(\displaystyle{ [n,3n]}\) czyli \(\displaystyle{ 2n+1}\) jest tych liczb

Także \(\displaystyle{ h(n)=2n+1}\)
a)
\(\displaystyle{ h(4)=2 \cdot 4+1=9}\)

[sabcia1]

Na pewno tak?? A skąd się wzieło 2n+1?

[polas]

Stare ale robię i też mnie zastanawia skąd się wzięło 2n+1 jak widać nie wszyscy umieją wytłumaczyć.

[kmarciniak1]

Wiemy że rozwiązania to liczby \(\displaystyle{ \left\langle n,3n\right\rangle}\)
Rozpiszmy rozwiązania dla kilku początkowych \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ {\red1} \ {\green2} \ {\red3}}\)
\(\displaystyle{ {\red2 \ 3} \ {\green4} \ {\red5 \ 6}}\)
\(\displaystyle{ {\red3 \ 4 \ 5} \ {\green6} \ {\red7 \ 8 \ 9}}\)
\(\displaystyle{ {\red4 \ 5 \ 6 \ 7} \ {\green8} \ {\red9 \ 10 \ 11 \ 12}}\)

Widać że po lewej stronie zielonej liczby mamy \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań po prawej stronie też mamy \(\displaystyle{ n}\) rozwiązań \(\displaystyle{ n+n=2n}\) Dodajemy jeszcze zieloną liczbę i wychodzi \(\displaystyle{ 2n+1}\)

[polas]

Dziękuję, choć ktoś jeden potrafi wytłumaczyć.

[arek1357]

Jedno z błyskotliwszych i ciekawych zadań na tym poziomie jakie ostatnio widziałem, bardzo pomocne przy rozwijaniu matematycznych uzdolnień. Rozwija ono nie tylko wiedzę o równaniach i nierównościach kwadratowych ale ładnie wprowadza w świat kombinatoryki.