Funkcja z pierwiastkiem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 16:29

Mam równanie do obliczenia:

\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)

Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)

Czy do tej pory jest ok? Ewentualnie jak ruszyć dalej?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2942
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 977 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: Janusz Tracz » 15 paź 2020, o 17:12

Warto napisać założenia gdy wykonuje się takie przekształcenia. Z drugiej strony ewentualnych odpowiedzi i tak będzie skończona ilość więc na koniec można je sprawdzić ręcznie. Tak czy inaczej jest nieźle. Teraz zauważ, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest oczywistym kandydatem na rozwiązanie sprawdź go a potem podziel przez \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Równanie wielomianowe które wyjdzie trzeba będzie rozwiązać. Sprawdzaj dzielniki wyrazu wolnego.

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 473
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 142 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: JHN » 15 paź 2020, o 18:26

Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...

Pozdrawiam

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18545
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3141 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: a4karo » 15 paź 2020, o 18:37

JHN pisze:
15 paź 2020, o 18:26
Albo trochę inaczej, nie będzie potrzeby rozpatrywania nieujemności stron
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1}+ x^{2} - 2x - 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
wtedy \(\displaystyle{ x=t^2-1}\)
i równanie przyjmie postać
\(\displaystyle{ t+(t^2-1)^2-2(t^2-1)-1=0}\)
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...

Pozdrawiam
Tak nie do końca. Kiedy `\sqrt{x+1}=-2`?

tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 18:52

Przekształciłam to w formę:
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)

Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2942
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 72 razy
Pomógł: 977 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: Janusz Tracz » 15 paź 2020, o 19:40

tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 18:52
Przekształciłam to w formę:
\(\displaystyle{ x(x-3)(x^2-x-1) = 0}\)
Więc dostałam 4 rozwiązania
\(\displaystyle{ x _{1} = 0, x _{2} = 3, x _{3} = (1- \sqrt{5})/2, x _{4} = (1+ \sqrt{5})/2}\)
Wygląda to ok.
tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 18:52
Na pierwszy rzut oka widać że 0 spełnia to równanie, a reszta? Jak do tego dojść?
to czyli które? Wiesz do którego równania masz podstawić te liczby? Masz czterech kandydatów na rozwiązania i podstawiasz je do pierwszego pierwotnego równania i patrzysz czy działa.

tomika92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 14 paź 2020, o 22:36
Płeć: Kobieta
wiek: 28
Podziękował: 3 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: tomika92 » 15 paź 2020, o 19:54

Ok, czyli wychodzi
\(\displaystyle{ x = 0}\) i \(\displaystyle{ x = (1+ \sqrt{5})/2}\)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 473
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 142 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: JHN » 15 paź 2020, o 21:23

a4karo pisze:
15 paź 2020, o 18:37
JHN pisze:
15 paź 2020, o 18:26
...Niech \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=t\wedge t\ge 0}\)
...
\(\displaystyle{ t^4-4t^2+t+2=0}\)
łatwo zauważyć, że jego rozwiązaniami są \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ -2}\), pozostałe do znalezienia...
Tak nie do końca. Kiedy `\sqrt{x+1}=-2`?
Zgoda, nie do końca rozwiązałem równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\)... , ale na pewno nie napisałem \(\displaystyle{ \sqrt{x+1}=-2}\)

Miłego wieczoru!

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2570
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 361 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: Dilectus » 15 paź 2020, o 23:40

tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 16:29

Zrobiłam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{x+1} = -x^{2} + 2x + 1}\)
Jeśli narysować wykresy lewej i prawej strony równania, łatwo widać, że ma ono dwa pierwiastki.
tomika92 pisze:
15 paź 2020, o 16:29

Żeby pozbyć się pierwiastka podniosłam obie strony do kwadratu i wyszło
\(\displaystyle{ x+1 = x^4 -4x^3+2x^2+4x+1}\)
\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)
Natomiast wielomian

\(\displaystyle{ -x^4+4x^3-2x^2-3x=0}\)

ma cztery pierwiastki rzeczywiste

Dlaczego? :)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6182
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1326 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: janusz47 » 16 paź 2020, o 19:22

Mamy dwie metody rozwiązywania równań:

- metoda równań równoważnych
-metoda starożytnych.

Rozwiązując równanie niewymierne jedną z tych metod, podnieśliśmy obie strony równania do drugiej potęgi.

Otrzymaliśmy równanie stopnia czwartego. Działanie to wprowadziło dodatkowe pierwiastki.

Sprawdzenie przez podstawienie do równania wyjściowego tych pierwiastków, pozwoliło na wyeliminowanie pierwiastków, które nie sprawdzają równanie wyjściowe.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18545
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3141 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: a4karo » 16 paź 2020, o 20:40

Wyliczanie pierwiastków ze złotej liczby i ich towazrzyszy nie jest zadaniem fascynującym.

1. pokażemy, że równanie nie ma ujemnych pierwiastków:
Dla \(\displaystyle{ -1\leq x<0}\) mamy `x+1<0`, więć `\sqrt{x+1}>x+1`
Zatem
`sqrt{x+1}+x^2-2x-1>x+1+x^2-2x-1=x^2-x>0`

czyli \(\displaystyle{ \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\) nie jest pierwiastkiem.
Zero jest pierwiastkiem , trójka nie - to sprawdzamy prosto

Napiszmy równie w postaci `\sqrt{x+1}+(x-1)^2=2`. Widać, że lewa strona rośnie do nieskończoności przy `x>1` a w jedynce ma wartość `\sqrt2<2`. Zatem równanie ma dokłądnie jedno rozwiązanie i musi im być \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6182
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1326 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: janusz47 » 16 paź 2020, o 22:03

Skuteczny sposób na wyeliminowanie niechcianych pierwiastków, ale czy osiągalny dla przeciętnego ucznia szkoły średniej?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18545
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3141 razy

Re: Funkcja z pierwiastkiem

Post autor: a4karo » 16 paź 2020, o 22:37

Po chwili refleksji:

pokazanie, że \(\displaystyle{ x_3=\frac{1-\sqrt5}{2}}\) nie jest pierwiastkiem jest dość trywialne:

\(\displaystyle{ \sqrt{x_3+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_3+1}+\red{x_3^2-x_3-1}-x_3>0}\)
bo czerwone wyrażenie jest zerem (pamiętamy wszak, jakiego równania pierwiastkiem jest `x_3`).

Podobnie pokazuje się, że \(\displaystyle{ x_4=\frac{1+\sqrt5}{2}}\) jest pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ \sqrt{x_4+1}+x_3^2-2x_3-1=\sqrt{x_4+1}+\red{x_4^2-x_4-1}-x_4=\sqrt{x_4+1}-x_4=\frac{\red{x_4+1-x_4^2}}{\sqrt{x_4+1}+x_4}=0}\)

Dodano po 35 minutach 38 sekundach:
A jak już to wszystko się zauważyło, to przychodzi takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{
\sqrt{x+1}+x^2-2x-1=\sqrt{x+1}-x +x^2-x-1=\sqrt{x+1}-x - (\sqrt{x+1}-x)(\sqrt{x+1}+x)\\
=(\sqrt{x+1}-x)(1-\sqrt{x+1}-x)=(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1-x-1}{1+\sqrt{x+1}}-x\right)\\
=-x(\sqrt{x+1}-x)\left(\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}+1\right)
}\)


Dalej już elementarz

Dodano po 57 sekundach:
To ostatnie jest na tyle elementarne, że jest w zasięgu każdego licealisty :)

ODPOWIEDZ