układ równań z 4 równaniami

[mat1989]

zetknąłem się ostatnio z takim zadaniem, mamy 3 równania z 3 niewiadomymi i trzeba dopisać 4 równanie aby układ równań był : oznaczony, nieoznaczony sprzeczny, ale treści niestety nie pamiętam dokładnie. Wie ktoś jak należy rozwiązać takie zadanie?:)

[robert9000]

według mnie należy najpierw rozwiązać ten układ 3 równań i otrzymamy wyniki, załuzmy, ze niewiadome to było a,b,c i wyszło nam a=1,b=2,c=3
aby był układ oznaczony, wystarczy że jakieś z powyższych róznań przepiszemy, a żeby nie było takie same, to można pomnozyc przez 2
aby był sprzeczny dajemy : a+b+c= np 0, co jest sprzecznością, wiec cały układ bedzie sprzeczny

P.S. zrozumiałem, że dopisując 4 równanie nie dochodzi 4 niewiadoma

[mat1989]

P.S. zrozumiałem, że dopisując 4 równanie nie dochodzi 4 niewiadoma

no tak nie dochodzi, chyba

[robert9000]

więc wydaje mi się, że takie powinno być rozwiązanie

[matti]

załóżmy, że jest to następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{cases}}\)

Prawie zawsze wszystko zależy od tego jaki był początkowy układ:
1. jeśli był sprzeczny to nieważne co dopiszemy układ pozostanie sprzeczny;
2. jeśli był oznaczony lub nieoznaczony to aby uzyskać układ sprzeczny wystarczy dopisać np. takie równanie:
\(\displaystyle{ a_1x+b_1y+c_1z = d_4}\)
przy czym
\(\displaystyle{ d_1 d_4}\);
3. jeśli był oznaczony i chcemy mieć dalej oznaczony to jako 4 równanie np. przepisujemy jedno z równań wyjściowych;
4. z układu oznaczonego nie możemy uzyskać układu nieoznaczonego;
5. jeśli był nieoznaczony i chcemy mieć dalej nieoznaczony to jako 4 równanie np. przepisujemy jedno z równań wyjściowych;
6. jeśli był nieoznaczony to nie zawsze da się uzyskać układ oznaczony (jeśli dwa z 3 równań są iloczynem trzeciego i pewnej liczby);
7. ale jeśli się da to oznacza, że tylko jedno z równań wyjściowych wynika z dwóch pozostałych. Wykreślamy to jedno i zostają dwa (załóżmy że dwa pierwsze). I teraz dopisujemy równanie, które musi być liniowo niezależne od dwóch poprzednich, a więc o współczynnikach \(\displaystyle{ a_5,\ b_5,\ c_5,\ d_5}\) takich, że dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha,\ \beta,\ \gamma}\) zachowana jest implikacja:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\alpha a_1+\beta a_2 + \gamma a_5 =0\\ b_1+\beta b_2+\gamma b_5=0\\ c_1+\beta c_2 +\gamma c_5=0 \\ d_1+\beta d_2 + \gamma d_5 =0 \end{cases} \ \ = \beta = \gamma = 0}\);


uff