Przekształcenia funkcji

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
Awatar użytkownika
Sounes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 maja 2017, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Przekształcenia funkcji

Post autor: Sounes »

Dzień dobry
Mam problem z następującym zadaniem. Mianowicie w poleceniu zadania podany jest wykres funkcji liniowej \(\displaystyle{ f(x)}\) który należy przekształcić tak, aby uzyskać wykres funkcji \(\displaystyle{ h(x)= f(1-\left| x\right|)}\). Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć w jakiej kolejności należałoby zastosować odpowiednie przekształcenia? Ja to zadanie próbowałem rozwiązać następująco:
1. Przekształcenie typu \(\displaystyle{ \left| x\right|}\), czyli prawą stronę funkcji zostawiamy i odbijamy symetrycznie przez oś OY.
2. Symetria OY, bo: \(\displaystyle{ h(x)=f(-(\left| x\right|-1)}\) czyli sytuacja \(\displaystyle{ f(-x)}\)
3. Przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ [1,0]}\).

Wykres funkcji, który powstaje w wyniku powyższych przekształceń jest inny od tego, który jest w odpowiedzi ale za bardzo nie wiem dlaczego.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Przekształcenia funkcji

Post autor: Janusz Tracz »

Możesz tak:

\(\displaystyle{ f(x)\:\xrightarrow[]{[-1,0]}\:f(x+1)\:\xrightarrow[]{x\mapsto-x}\:f(-x+1)\:\xrightarrow[]{x\mapsto|x|}\:f(-|x|+1)}\)

albo tak:

\(\displaystyle{ f(x)\:\xrightarrow[]{x\mapsto-x}\:f(-x)\:\xrightarrow[]{[1,0]}\:f(-x+1)\:\xrightarrow[]{x\mapsto|x|}\:f(-|x|+1)}\)

ale jeśli zaczniesz od zamiany \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ \left| x\right| }\) to Ci nie wyjdzie bo potem przesuwając o wektor będziesz dostawał \(\displaystyle{ \left| x \pm 1\right| }\) zamiast \(\displaystyle{ \left| x\right| \pm 1 }\).
Awatar użytkownika
Sounes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 maja 2017, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: Przekształcenia funkcji

Post autor: Sounes »

No właśnie, jedyna kolejność przekształceń która prowadzi do poprawnego wyniku to taka, którą wskazałeś aczkolwiek nie za bardzo rozumiem dlaczego powinno się to robić w ten sposób. Czy aby nie ma konkretnych reguł, które określają kolejność przekształceń w bardziej skomplikowanych przykładach? Ja osobiście słyszałem o regule, która mówi iż powinno się przekształcenia zaczynać "od środka" tj. od argumentu. Stąd też moje przekształcenie typu \(\displaystyle{ \left| x\right| }\) jako pierwsze. Jeżeli to stwierdzenie jest fałszywe, to czym się sugerować w tego typu zadaniach?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przekształcenia funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

Sounes pisze: 26 wrz 2020, o 17:06Czy aby nie ma konkretnych reguł, które określają kolejność przekształceń w bardziej skomplikowanych przykładach?
Żadna reguła nie zastąpi myślenia. Zamiast stosować mniej lub bardzie podejrzane reguły możesz po prostu sprawdzić, do czego prowadzą Twoje przekształcenia:

\(\displaystyle{ f(x)\\
g(x)=f(|x|)\\
h(x)=g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)\\
j(x)=h(x-1)=f(|x-1|),}\)


więc, jak widzisz, kicha. Nawiasem mówiąc, powinieneś wiedzieć, że zastosowanie przekształcenia \(\displaystyle{ x\mapsto|x|}\) daje funkcję parzystą (o wykresie symetrycznym względem osi OY), więc stosowanie do jej wykresu symetrii względem osi OY zupełnie mija się z celem (co widać w powyższych rachunkach).
Natomiast u Janusza Tracza masz np.

\(\displaystyle{ f(x)\\
g(x)=f(x+1)\\
h(x)=g(-x)=f(-x+1)\\
j(x)=h(|x|)=f(-|x|+1),}\)


czyli dobrze.

JK
Awatar użytkownika
Sounes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 30 maja 2017, o 23:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 4 razy

Re: Przekształcenia funkcji

Post autor: Sounes »

Dzięki wielkie za udzieloną mi pomoc i jednocześnie sorry za tak pózna odpowiedz :D. Rozumiem już na czym polegał mój problem. Przerobiłem już parę zadań tego typu i wychodzi na to, że kolejność przekształceń po prostu trzeba obmyśleć tak jak to zrobiliście. Temat uważam za zamknięty.
ODPOWIEDZ