wyznaczyć wszystkie funkcje f:R do R spełnijące równanie
(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)
dla x,y,z,t rzeczywistych
wyznaczyć wszystkie funkcje
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
wyznaczyć wszystkie funkcje
\(\displaystyle{ (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)}\)
Zauważmy, że równanie to spełnia funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv0}\), funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv\frac12}\) oraz funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).
Przy dodatkowym założeniu, że funkcja f jest ciągła, można pokazać, że są to jedyne możliwości. Bez założenia o ciągłości nie widzę w tej chwili, jak to jest.
Zauważmy, że równanie to spełnia funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv0}\), funkcja stała \(\displaystyle{ f\equiv\frac12}\) oraz funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\).
Przy dodatkowym założeniu, że funkcja f jest ciągła, można pokazać, że są to jedyne możliwości. Bez założenia o ciągłości nie widzę w tej chwili, jak to jest.