Prosta a krata

[mol_ksiazkowy]

Jaka jest najmniejsza odległość punktu kratowego od prostej \(\displaystyle{ y = \frac{3}{4} x + \frac{4}{3} }\) ?

[bosa_Nike]

Weźmy punkt kratowy \(\displaystyle{ P=(a,b)}\). Jego odległość od danej prostej to \(\displaystyle{ d=\frac{|9a-12b+16|}{\sqrt{9^2+12^2}}}\). Równanie \(\displaystyle{ 12b-9a=16}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, bo strony nie przystają modulo trzy. Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ |9\cdot(-3)-12\cdot(-1)+16|=1}\), więc minimalna odległość to \(\displaystyle{ \frac{1}{15}}\).