Prosta a krata

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6023
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2507 razy
Pomógł: 668 razy

Prosta a krata

Post autor: mol_ksiazkowy » 8 sty 2020, o 16:05

Jaka jest najmniejsza odległość punktu kratowego od prostej \(\displaystyle{ y = \frac{3}{4} x + \frac{4}{3} }\) ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1524
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 402 razy

Re: Prosta a krata

Post autor: bosa_Nike » 8 sty 2020, o 18:51

Weźmy punkt kratowy \(\displaystyle{ P=(a,b)}\). Jego odległość od danej prostej to \(\displaystyle{ d=\frac{|9a-12b+16|}{\sqrt{9^2+12^2}}}\). Równanie \(\displaystyle{ 12b-9a=16}\) nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych, bo strony nie przystają modulo trzy. Pozostaje zauważyć, że \(\displaystyle{ |9\cdot(-3)-12\cdot(-1)+16|=1}\), więc minimalna odległość to \(\displaystyle{ \frac{1}{15}}\).

ODPOWIEDZ