Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
konieckoncuf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 sty 2019, o 20:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: konieckoncuf » 6 sty 2020, o 15:34

Firma może produkować dwa wyroby \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\), zużywając przy tym dwa środki \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\). Normy zużycia środków, ich zasoby oraz ceny sprzedaży wyrobów zawiera tabela. Firma maksymalizuje przychody.

\(\displaystyle{ \begin{array}{lccc}
& W_1 & W_2 & \text{Zasób}\\
S_1 & 2 & 2 & 60\\
S_2 & 4 & 3 & 60\\
\text{Cena} & 6 & 3 &
\end{array}}\)


a) Ułóż zadanie liniowe decyzyjne
b) Rozwiąż zadanie metodą geometryczną
c) Wskaż obszar rozwiązań dopuszczalnych
d) Wskaż rozwiązanie optymalne i wartość funkcji celu dla tego rozwiązania

_____________________________________________________________________

Wykonałem zadanie, lecz mam wątpliwości czy jest dobrze rozwiązane. Proszę mnie sprawdzić :)

[ciach]
Ostatnio zmieniony 6 sty 2020, o 23:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u. Wolno zamieszczać TYLKO rysunki, tekst MUSI być przepisany. Brak LaTeXa.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: janusz47 » 6 sty 2020, o 16:57

Zadanie programowania liniowego ZPL sformułowane poprawnie.

Brak dodatkowych ograniczeń \(\displaystyle{ x\geq 0, \ \ y\geq 0. }\)

Rozwiązanie graficzne

Wyznaczamy współrzędne wektora gradientu funkcji celu:

\(\displaystyle{ \nabla f = [ 6, \ \ 3] }\)

Zaznaczamy wektor gradientu w początku układu współrzędnych \(\displaystyle{ (0, 0), }\) otrzymując kierunek najszybszego wzrostu funkcji celu.

Kreślimy prostą - prostopadłą do wektora gradientu w punkcie \(\displaystyle{ (0,0) }\)

Przesuwamy prostą prostopadłą wzdłuż kierunku wektora gradientu.

Natrafiamy na wierzchołek zbioru (wielokąta) ograniczeń - najbardziej oddalony od początku układu współrzędnych . Jest to rozwiązanie optymalne \(\displaystyle{ (x^{*}, y^{*} ) = (...) }\) ZPL .

Proszę sprawdzić ze swoim rozwiązaniem.

konieckoncuf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 2 sty 2019, o 20:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin

Re: Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: konieckoncuf » 6 sty 2020, o 17:07

Rozwiązanie jest w linku "zadanie". Nie wiem czy jest zrobione dobrze czy źle

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: janusz47 » 6 sty 2020, o 17:11

Proszę sprawdzić metodą gradientu opisaną powyżej.

Wymagany zapis w LateX'u treści zadań.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26429
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: Jan Kraszewski » 6 sty 2020, o 23:07

konieckoncuf pisze:
6 sty 2020, o 17:07
Rozwiązanie jest w linku "zadanie".
Który to link był nieregulaminowy i już go nie ma.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Programowanie liniowe - metoda geometryczna

Post autor: janusz47 » 7 sty 2020, o 10:55

Wracając do Twojego rozwiązania (szczęście, że go skopiowałem) wymaga korekty.

Krawędzie, ograniczające zbiór dopuszczalnych rozwiązań ZPL są odcinkami prostych, przecinających osie prostokątnego układu współrzędnych w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ (x_{1}, y_{1})= (30, 30), \ \ (x_{2},y_{2}) = ( 15, 20 ) }\). Nie mogą więc to być odcinki równoległe.

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych:

\(\displaystyle{ \mathcal{D} = \{ (x,y)\in \RR^2 : x+y \leq 30, \ \ 4x+3y \leq 60, \ \ x\geq 0, \ \ y\geq 0 \}. }\)

Prosta prostopadła do wektora gradientu pokrywa się z wierzchołkami zbioru dopuszczalnych rozwiązań w punkcie \(\displaystyle{ (x^{*}, y^{*})= (15,30). }\)

Jest to optymalne rozwiązanie ZPL.

Wartość funkcji celu dla tego rozwiązania \(\displaystyle{ f_{max} = f(15, 30) = 6\cdot 15 + 3\cdot 30 = 180.}\)

ODPOWIEDZ