Metoda wyznaczników. Układ równań.

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
aldonask
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 wrz 2018, o 17:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Metoda wyznaczników. Układ równań.

Post autor: aldonask »

Zad.
Dany jest układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} mx+y=1\\x-y=2m\end{cases}}\)
Dla jakich wartości układ równań przedstawia dwie proste pokrywające się?
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ W=-m-1 \\
W_{x}=-1-2m \\
W_{y}=2m^{2}-1}\)


Układ równań przedstawia dwie proste pokrywające się gdy jest układem nieoznaczonym, tzn.
gdy \(\displaystyle{ W=0}\) i \(\displaystyle{ W_{x}=0}\).

\(\displaystyle{ W=0 \Longleftrightarrow -m-1=0 \Longleftrightarrow m=-1 \\
W_{x}=0 \Longleftrightarrow 1-2m=0 \Longleftrightarrow m= -\frac{1}{2}}\)


Nie ma takiej wartości \(\displaystyle{ m}\), dla której układ byłby układem nieoznaczonym i przedstawiał dwie proste pokrywające się.

Moje pytanie dotyczy tego. Dlaczego nie obliczamy wartości \(\displaystyle{ m}\) z wyznacznika \(\displaystyle{ W_{y}}\), tylko samo \(\displaystyle{ m}\) z \(\displaystyle{ W_{x}}\) przecież warunek na układ nieoznaczony w tablicach matematycznych jest taki \(\displaystyle{ W=0}\) i \(\displaystyle{ W_{x}=0}\) i \(\displaystyle{ W_{y}=0}\) ?
Dlaczego badamy tylko \(\displaystyle{ m}\) z wyznacznika \(\displaystyle{ W_{x}}\)?
Ostatnio zmieniony 8 mar 2019, o 20:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
szw1710

Metoda wyznaczników. Układ równań.

Post autor: szw1710 »

Można udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ W=W_x=0}\), to także \(\displaystyle{ W_y=0}\).

To wynika z pewnych własności wyznaczników znanych w matematyce wyższej. Otóż jeśli \(\displaystyle{ W=0}\), to kolumny tego wyznacznika są proporcjonalne. Więc mając wyznacznik \(\displaystyle{ W_x=0}\), wyznacznik \(\displaystyle{ W_y}\) otrzymujemy przez podmianę kolumny \(\displaystyle{ x}\) na kolumnę \(\displaystyle{ y}\) (proporcjonalną) i zamianę kolejności kolumn. Stąd jeśli \(\displaystyle{ W=W_x=0}\), to także \(\displaystyle{ W_y=0.}\)
aldonask
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 12 wrz 2018, o 17:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Metoda wyznaczników. Układ równań.

Post autor: aldonask »

Dziękuje za odpowiedz.
szw1710

Metoda wyznaczników. Układ równań.

Post autor: szw1710 »

aldonask pisze:Dziękuje za odpowiedz.
... która nie do końca jest poprawna, na co wskazuje przykład układu sprzecznego \(\displaystyle{ x=1, x=2.}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Metoda wyznaczników. Układ równań.

Post autor: a4karo »

Warunek \(\displaystyle{ W=W_x=W_y=0}\) może zdarzyć się również w układzie sprzecznym, więc zerowanie wyznaczników jeszcze o niczym nie świadczy.

Natomiast rozumować można tak: jeżeli układ ma mieć nieskończenie wiele rozwiązań, to z pewnością musi zachodzi \(\displaystyle{ W=0}\), skąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ m=-1}\)


Ale dla \(\displaystyle{ m=-1}\) układ ma postać

\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+y=1\\x-y=-2\end{cases}}\),
więc jest ewidentnie sprzeczny. Koniec.
ODPOWIEDZ