Funkcja liniowa - problem z kilkoma zadaniami

[puszk]

Hej, mam problem z rozwiązaniem kilku zadań. Byłby ktoś w stanie mi pomóc?

1.
Dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) proste \(\displaystyle{ y = 3 - (4m-1)x}\) i \(\displaystyle{ y = \frac{1}{5}x + 2}\) są prostopadłe?

2.
Dla jakich wartości \(\displaystyle{ m}\) funkcja \(\displaystyle{ y = (3-7m)x + 1}\) jest rosnąca?

Tutaj mi wyszło że dla \(\displaystyle{ m < \frac{3}{7}}\)

3.
Wyznacz współrzędną \(\displaystyle{ a}\), wiedząc, że punkty: \(\displaystyle{ A=(1, -5) , B=(2a, 6)}\) i \(\displaystyle{ C=(3, -7)}\) należą do wykresu tej samej funkcji liniowej.

4.
Funkcje \(\displaystyle{ f(x) = 3x + 9}\) i \(\displaystyle{ g(x) = ax + 8}\) mają takie same miejsca zerowe. Znajdź \(\displaystyle{ a}\).

Tutaj mi wyszło \(\displaystyle{ x = -3}\) ale dalej nie wiem, teoretycznie \(\displaystyle{ a}\) wychodzi\(\displaystyle{ -5}\) ale z tego co wiem to jest źle.

5.
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P = (-3, -2)}\) i jest równoległy do funkcji \(\displaystyle{ g(x) = 1 - 3x.}\)

Tutaj obliczyłem że \(\displaystyle{ b=-11}\) ale nie wiem czy to dobrze i co z tym dalej zrobić.

7.
Znajdź równanie prostej nachylonej do osi \(\displaystyle{ OX}\) pod kątem \(\displaystyle{ 150^\circ}\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P = (0, -4).}\)

Bardzo bym prosił o pomoc, ewentualnie jakby się komuś chciało to jakoś też prosto wytłumaczyć.

[Jan Kraszewski]

1. Znasz warunek prostopadłości prostych?

2. Dobrze.

3. Wyznacz prostą \(\displaystyle{ AC}\) i sprawdź, kiedy punkt \(\displaystyle{ B}\) do niej należy.

4. A w jaki sposób z równania \(\displaystyle{ 0=-3a+8}\) wychodzi Ci \(\displaystyle{ a=-5}\) ?

5. Dalej masz napisać wzór funkcji liniowej (\(\displaystyle{ b}\) jest dobrze i mam nadzieję, że wiesz, czym jest \(\displaystyle{ b}\)...).

7. Znasz związek współczynnika kierunkowego prostej z kątem nachylenia tej prostej do osi \(\displaystyle{ OX}\) ?

JK

[Dilectus]

Zacznijmy od pierwszego zadania

1.
Dla jakiego m proste \(\displaystyle{ y = 3 - (4m-1)x}\) i \(\displaystyle{ y = \frac{1}{5}x + 2}\) są prostopadłe?

Zastanów się, jaki warunek muszą spełniać współczynniki kierunkowe dwóch prostych wzajemnie prostopadłych.

[puszk]

1. O ile się nie myle, to muszą być przeciwne znaki we współczynnikach kierunkowych?

Czy chodzi tutaj o zależność \(\displaystyle{ a_1 \cdot a_2=-1}\)?

4. Policzyłem to tak

\(\displaystyle{ 3x + 9 = 0 \\
3x = -9 /:3 \\
x = -3}\)

To wiadome.
I teraz \(\displaystyle{ a}\) wyliczyłem tak (wyszedł mi ostatecznie inny wynik, tam coś źle policzyłem):

\(\displaystyle{ a(-3) + 8 = 0 \\
-3a = -8 /:-3 \\
a = \frac{8}{3} \\
a = 2 \frac{2}{3}}\)

5. Wiem czym jest \(\displaystyle{ b}\) (punkt przecięcia wykresu z osią \(\displaystyle{ y}\)) tyle że nie mam pomysłu jak ten wzór zapisać.

7. Znam i udało mi się (chyba) obliczyć te zadanie.

\(\displaystyle{ \tg 150^\circ = - \frac{\sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ -4 = - \frac{\sqrt{3} }{3} \cdot 0 + b \\
-4 = b}\)

\(\displaystyle{ y = ax + b \\
y = -\frac{\sqrt{3} }{3}x -4}\)

-- 10 cze 2018, o 00:50 --

Co do 3 - pogłówkowałem, i pomyślałem żeby zrobić układ współrzędnych.

\(\displaystyle{ -7 = 3a+b \\
-5 = 1a+b}\)

Z którego koniec końców wyszło \(\displaystyle{ b = -4}\) i \(\displaystyle{ a = -1}\). Coś z tym wynikiem dalej muszę zrobić?

Sory że takie banalne dla niektórych osób pytania zadaje - ale czasami coś co wydaje mi się proste, po chwili staje się czarną magią

[Jan Kraszewski]

1. Czy chodzi tutaj o zależność \(\displaystyle{ a_1 \cdot a_2=-1}\)?

Tak, skorzystaj z niej.

4. I teraz \(\displaystyle{ a}\) wyliczyłem tak (wyszedł mi ostatecznie inny wynik, tam coś źle policzyłem):

\(\displaystyle{ a(-3) + 8 = 0 \\
-3a = -8 /:-3 \\
a = \frac{8}{3} \\
a = 2 \frac{2}{3}}\)

Dobrze.

5. Wiem czym jest \(\displaystyle{ b}\) (punkt przecięcia wykresu z osią \(\displaystyle{ y}\)) tyle że nie mam pomysłu jak ten wzór zapisać.

A znasz wzór na równanie prostej?

7. Znam i udało mi się (chyba) obliczyć te zadanie.

\(\displaystyle{ \tg 150^\circ = - \frac{\sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ -4 = - \frac{\sqrt{3} }{3} \cdot 0 + b \\
-4 = b}\)

\(\displaystyle{ y = ax + b \\
y = -\frac{\sqrt{3} }{3}x -4}\)

Dobrze.

Co do 3 - pogłówkowałem, i pomyślałem żeby zrobić układ współrzędnych.

\(\displaystyle{ -7 = 3a+b \\
-5 = 1a+b}\)

Z którego koniec końców wyszło \(\displaystyle{ b = -4}\) i \(\displaystyle{ a = -1}\). Coś z tym wynikiem dalej muszę zrobić?

A czym są te \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ? Pamiętaj, co Ci napisałem

3. Wyznacz prostą \(\displaystyle{ AC}\) i sprawdź, kiedy punkt \(\displaystyle{ B}\) do niej należy.

Na wszelki wypadek zwrócę Ci uwagę, że Twoje \(\displaystyle{ a}\) z powyższych rachunków i \(\displaystyle{ a}\) występujące w \(\displaystyle{ B=(2a, 6)}\) to zupełnie różne \(\displaystyle{ a}\) i nie wolno ich pomylić.

Musisz zrozumieć, że te wszystkie znaczki coś znaczą i najważniejsza jest nie żonglerka znaczkami, tylko właśnie zrozumienie, co znaczą.

JK

[puszk]

Co do 1 - pomyślałem żeby to zrobić w ten sposób.

\(\displaystyle{ -(4m - 1) \cdot \frac{1}{5} = -1 / \cdot (-5)}\)

\(\displaystyle{ (4m-1) \cdot 1 = 5 \\
4m - 1 \cdot 1 = 5 \\
4m = 6 /:4 \\
m = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}}\)

W 5 będzie \(\displaystyle{ f(x) = -3x -11}\)?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ -(4m - 1) \cdot \frac{1}{5} = -1 / \cdot (-5)}\)

\(\displaystyle{ (4m-1) \cdot 1 = 5 \\
{\red 4m - 1 \cdot 1 = 5} \\
4m = 6 /:4 \\
m = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}}\)

Poza tym, że czerwoną linijkę wypadałoby opuścić (jest zbędna i dodatkowo podejrzanie wygląda - co by było, gdybyś mnożył przez \(\displaystyle{ 2}\), a nie przez \(\displaystyle{ 1}\)?), to dobrze.

W 5 będzie \(\displaystyle{ f(x) = -3x -11}\)?

Tak.

JK

[puszk]

Okej, dziękuje. Mam jeszcze jeden przykład co do 1, bo nie wiem czy dobrze zrozumiałem to.

Dla jakiego \(\displaystyle{ m}\) proste \(\displaystyle{ y = 3 + 2(m-2)x}\) i \(\displaystyle{ y = \frac{1}{3} + 2x}\) są prostopadłe?

Policzyłem to tak

\(\displaystyle{ (m - 2) \cdot 2 = -1}\)
\(\displaystyle{ m - 2 \cdot 2 = -1}\) (tutaj opuściłem nawias, nic przed nim nie było więc nic nie zmieniałem - nie wiem czy dobrze)
\(\displaystyle{ m = 3}\) (bo \(\displaystyle{ -2 \cdot 2}\) to wyszło mi \(\displaystyle{ -4}\), zamieniłem strony i wyszło \(\displaystyle{ 3}\))

Dobrze to obliczyłem?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (m - 2) \cdot 2 = -1}\)
\(\displaystyle{ m - 2 \cdot 2 = -1}\) (tutaj opuściłem nawias, nic przed nim nie było więc nic nie zmieniałem - nie wiem czy dobrze)

Tragedia - masz braki na poziomie podstawowych przekształceń algebraicznych (tego się właśnie obawiałem w poprzednim poście). Na jakiej podstawie "opuściłeś nawias"? W matematyce nie ma tak, że robi się to, na co przyjdzie nam ochota.

Powinieneś powtórzyć sobie pewne podstawowe kwestie, bo nawet jak już nauczysz się, co trzeba policzyć, to będziesz wykładał się na przekształceniach.

A nawiasy opuszcza się inaczej. Polecam hasło "rozdzielność mnożenia względem dodawania".

JK

[puszk]

Zamotałem się trochę, dopiero po chwili pomyślałem że powinienem wymnożyć ten nawias przez \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ (m - 2) \cdot 2 = -1 \\
2m - 4 = -1 \\
2m = 3 /:2 \\
m = \frac{3}{2}}\)

Spróbowałem rozwiązać ponownie zadanie 5 ale z innym przykładem. Tym razem \(\displaystyle{ P = (1, -2)}\)
i równoległy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g(x) = 5 - 3x}\)

Obliczyłem to tak.

\(\displaystyle{ -2 = -3 + b \\
b = 1 \\
y = -x + 1}\)

Obawiam się że coś źle bo coś zbyt łatwo wyszedł wynik, ale nie wiem.

[Jan Kraszewski]

Zamotałem się trochę, dopiero po chwili pomyślałem że powinienem wymnożyć ten nawias przez \(\displaystyle{ 2}\).

\(\displaystyle{ (m - 2) \cdot 2 = -1 \\
2m - 4 = -1 \\
2m = 3 /:2 \\
m = \frac{3}{2}}\)

Teraz dobrze.

Spróbowałem rozwiązać ponownie zadanie 5 ale z innym przykładem. Tym razem \(\displaystyle{ P = (1, -2)}\)
i równoległy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g(x) = 5 - 3x}\)

Obliczyłem to tak.

\(\displaystyle{ -2 = -3 + b \\
b = 1 \\
y = -x + 1}\)

Obawiam się że coś źle bo coś zbyt łatwo wyszedł wynik, ale nie wiem.

To naucz się weryfikować swoje odpowiedzi. Prosta miała przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (1,-2)}\). Przechodzi?

JK

[puszk]

Sprawdziłem, nawet narysowałem sobie wykres i w tym problem że \(\displaystyle{ y = -x + 1}\) (czyli ten mój wynik nie przechodzi), sprawdziłem z ciekawości \(\displaystyle{ y = -x - 1}\) i ten już przechodzi. Tylko skąd tutaj się wziął \(\displaystyle{ -1}\)?

[Jan Kraszewski]

sprawdziłem z ciekawości \(\displaystyle{ y = -x - 1}\) i ten już przechodzi. Tylko skąd tutaj się wziął \(\displaystyle{ -1}\)?

Z sufitu. Jest nieskończenie wiele prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P}\), a Ty przypadkiem znalazłeś jedną z nich. Ale nie tą, o którą chodziło.

Musisz przestać traktować te zadania magicznie, a zacząć traktować systematycznie. Przypomnę Ci treść zadania:

Spróbowałem rozwiązać ponownie zadanie 5 ale z innym przykładem. Tym razem \(\displaystyle{ P = (1, -2)}\) i równoległy do wykresu funkcji \(\displaystyle{ g(x) = 5 - 3x}\)

Chyba zapomniałeś, co masz w tym zadaniu znaleźć.

JK

[puszk]

W tym problem, że nie jest równoległy a nie mam innego pomysłu jak to rozwiązać. Starałem się zrobić identycznie jak poprzedni przykład.

-- 10 cze 2018, o 22:33 --

Chwila - wyrazy równoległe różnią się tylko \(\displaystyle{ b}\), czy w takim razie szukanym wzorem funkcji będzie\(\displaystyle{ f(x) = -3x -1}\)? Sprawdziłem i jest równoległy.

[Jan Kraszewski]

Chwila - wyrazy równoległe różnią się tylko \(\displaystyle{ b}\), czy w takim razie szukanym wzorem funkcji będzie\(\displaystyle{ f(x) = -3x -1}\)? Sprawdziłem i jest równoległy.

A widzisz, chwila refleksji i się połapałeś, tylko że znów źle podstawiłeś... Przeczytaj jeszcze raz całe rozwiązanie, sprawdź, czy punkt \(\displaystyle{ P}\) należy do prostej...

JK

PS
I nie "wyrazy równoległe różnią się tylko \(\displaystyle{ b}\)", tylko "proste równoległe różnią się tylko \(\displaystyle{ b}\)".