Dwie funkcje liniowe dodane geometrycznie

[new_multi_8k]

Dzień Dobry

Jak udowodnić - z matematyczną gracją - że posiadając dwie funkcje liniowe

\(\displaystyle{ y_1 = -(728 \cdot 50)+(1674 \cdot x)-(3560 \cdot (x-70)) \\
y_2 = -(4600 \cdot x)+(7114 \cdot (x-70))}\)

funkcje skracają się do
\(\displaystyle{ y_1 = 212800 - 1886 x \\
y_2 = 2514 x - 497980}\)

po ich podstawianiu do twierdzenia Pitagorasa już nie mamy funkcji liniowej i wykres nie ma postaci prostej linii

\(\displaystyle{ y=\sqrt{y_1^2 + y_2^2}}\)

Pytanie jest dla matematyków pewnie banalne, pozwalam sobie o to spytać bo prowadzący zajęcia z mechaniki mnie spytał skąd u mnie wygięty wykres.

Funkcja \(\displaystyle{ y_1}\) to wyrażenie na momenty gnące wał w jednej płaszczyźnie a funkcja \(\displaystyle{ y_2}\) to wyrażenie na momenty gnące w drugiej płaszczyźnie obróconej o 90 stopni stąd sumuje się je geometrycznie i prowadzący pamięta że w przypadku kiedy wszystkie siły w układzie są siłami skupionymi nie mogą wyjść na wykresie parabole ani żadne krzywe nie zna zaś, że suma geometryczna funkcji tych momentów nie jest już liniowa. Podejrzewam też, że nikt mu tego nie powiedział bo ludzie na studiach liczą te momenty gnące na papierze w rozdzielczości 10 punktów (to i tak w cholere liczenia!) a ja zrobiłem w Excelu w rozdzielczości 250 punktów i wychodzą na jaw ukryte własności funkcji

[a4karo]

Matematyczna gracją polega na wzięciu do ręki kalkulatora i ślicznego wyliczenia współczynników po uprzednim uporządkowaniu wyrażeń.

To, że wykres pierwiastka nie jest linią prostą wynika najprawdopodobniej z faktu, że suma kwadratów to nie kwadrat sumy. Tym oczywistym niedopatrzeniem poprzednich władz zajmie się Sejm RP na najbliższym posiedzeniu.

[new_multi_8k]

Mój najbardziej elegancki pomysł to pokazać facetowi wydruk z Wolfram Alpha

Kod: Zaznacz cały

derivative of sqrt((-(728*50)+(1674*x)-(3560*(x-70)))^2 + (-(4600*x)+(7114*(x-70)))^2)  

Wychodzi z tego jakaś chora funkcja a przecież gdyby różniczkowana funkcja była liniowa to jej pochodna miała być postać stałej

[PoweredDragon]

Nie liczysz pochodnej z funkcji liniowej, tylko pochodną \(\displaystyle{ [\sqrt{ax^2+bx+c}]' = -(2ax+b) \frac{1}{\sqrt{ax^2+bx+c}}}\)
Te pierwsze dwie funkcje są natomiast liniowe, dopiero z tym \(\displaystyle{ y = \sqrt{y_1^2+y_2^2}}\) zmieniasz funkcję na nieliniową - niewymierną nawet. A4karo dobrze powiedział - suma kwadratów to nie kwadrat sumy, ale w sumie zabawna sytuacja
Wolframalpha to niepewny dowód; też popełnia błędy. Lepiej policz jaka funkcja ci wyjdzie i pokaż, że nie jest to kwadrat sumy i tyle :V (Najłatwiej będzie pokazując, że wyraz wolny albo współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) nie jest kwadratem)