Zadania tekstowe z funkcji liniowej

[Jmoriarty]

Kolarz znajduje się w odległości \(\displaystyle{ 120\ km}\) od mety, do której zbliża się ze stałą prędkością. Za \(\displaystyle{ 4\ h}\) kolarz przekroczy linię mety. Odległość kolarza od mety \(\displaystyle{ [km]}\) w zależności od czasu jazdy \(\displaystyle{ t [h]}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in \left\langle 0;4\right\rangle}\), opisuje wzór: ?
Jest to zadanie z matematyki, a nie fizyki, więc chciałbym to zrobić bez wzoru na prędkość. Proszę o wytłumaczenie zależności między tym, a funkcją liniową, jak to przedstawić we wzorze?

[kropka+]

Oznaczmy odległość od mety jako \(\displaystyle{ y}\). Funkcja liniowa ma postać

\(\displaystyle{ y=at+b}\)

Mamy dwa punkty spełniające to równanie: \(\displaystyle{ (t _{1} ,y _{1} )=(0,120)}\) i \(\displaystyle{ (t _{2} ,y _{2} )=(4,0)}\). Podstawiając współrzędne tych punktów do równania funkcji liniowej dostaniesz układ dwóch równań, z którego wyliczysz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\),

[Jmoriarty]

Dlaczego te dwa punkty?

[SlotaWoj]

Jest to zadanie z matematyki, a nie fizyki, więc chciałbym to zrobić bez wzoru na prędkość. Proszę o wytłumaczenie zależności między tym, a funkcją liniową, jak to przedstawić we wzorze?

Eeee tam!

Skoro w zadaniu jest odległość, czas i prędkość, to jest to zadanie z fizyki. Ale zjawisko ma swój model matematyczny (wzór na prędkość), więc jest też zadanie z matematyki.

Do tego co Ci Kropka+ napisała dodam:

• \(\displaystyle{ y=s \\ a=v \\ b=s_0}\)

i masz:

• \(\displaystyle{ s=vt+s_0}\) – równanie drogi w ruchu jednostajnym (ze stałą prędkością).

Te dwa punkty wynikają z treści zadania, a dwa (różne) punkty definiują prostą.

Nie zdziw się że otrzymasz prędkość ujemną (przybliżasz się do celu), bo to wynika z układu współrzędnych przyjętego przez Kropkę+.

Ja wybrałbym inny układ współrzędnych i punkty: \(\displaystyle{ (t _1;y _1)=(0;0)}\) i \(\displaystyle{ (t _2;y _2)=(4;120)}\) , wówczas prędkość byłaby dodatnia (oddalałbyś się od punktu początkowego).

I wcale nie oznacza to, że układ współrzędnych przyjęty przez Kropkę+ jest zły.

[Jmoriarty]

SlotaWoj, tak to prawda, ale po prostu jeśli mam na to sposób matematyczny to nie chce korzystać ze wzoru z fizyki, bo właśnie nie chodzi o to żeby zrobić to zadanie, tylko bardziej żeby sie nauczyć tego sposobu i zrozumieć
Czyli funkcja będzie wyglądała tak, że będzie malała. Na osi OY będą wartości \(\displaystyle{ \left\langle 0,120\right\rangle}\) \(\displaystyle{ km}\), a na osi OX wartości podane dla \(\displaystyle{ t}\), ok rozumiem, miejsce zerowe i punkt przecięcia z OY to te dwa punkty. Czyli wzór funkcji będzie \(\displaystyle{ f(t)=-30t+120}\)
Dziękuję za pomoc

Edit: przeczytałem po edytowaniu. Rozumiem, też na początku ułożyłem sobie układ współrzędnych inaczej, ale to wyjdzie dobrze? Wtedy współczynnik \(\displaystyle{ a}\) będzie inny
edit: ogólnie, wzór wyjdzie całkiem inny
W sumie to współczynnik \(\displaystyle{ a}\) po prostu będzie przeciwny, wzór funkcji byłby \(\displaystyle{ f(t)=30t}\), ale wydaje mi się że taka funkcja nie może być odpowiedzią na to zadanie, bo nie pokazuje ona stopniowego zmniejszania się odległości, tylko zwiększania, a jest w poleceniu, że kolarz zbliża się do mety. Chyba że po prostu można narysować ten układ współrzędnych po to, żeby posłużyć się nim do przekształcenia, wtedy można przekształcić go względem osi OY i o wektor \(\displaystyle{ [0,120]}\) i wyjdzie dobrze, a nie trzeba tym sposobem liczyć współczynnika \(\displaystyle{ a}\), bo będzie po prostu liczbą przeciwną do tego który można odczytać z funkcji \(\displaystyle{ f(t) =30t}\).

[SlotaWoj]

Dobrze kombinujesz.

Przeredagowywałem wielokrotnie swój post, więc przeczytaj go jeszcze raz.

[Jmoriarty]

Już edytowałem.

[SlotaWoj]

Edit: przeczytałem po edytowaniu. Rozumiem, też na początku ułożyłem sobie układ współrzędnych inaczej, ale to wyjdzie dobrze? Wtedy współczynnik \(\displaystyle{ a}\) będzie inny
...

Zawsze równanie będzie następującej postaci: \(\displaystyle{ s=vt+s_0}\) , bo model matematyczny zjawiska jest niezależny od przyjętego układu współrzędnych i zawsze będzie taka sama bezwzględna wartość prędkości. To czy będzie dodatnia, czy ujemna, zależy od niuansów językowych, bo możemy zbliżać się do punktu docelowego, lub oddalać się od punktu startowego. Od położenia układu współrzędnych będzie natomiast zależała wartość położenia początkowego. Z oboma tymi warunkami muszą bezwzględnie korespondować współrzędne punktów, które bierzemy pod uwagę przy wyznaczaniu wartości \(\displaystyle{ v}\) i \(\displaystyle{ s_0}\) .
Ze względu na słowo „zbliża” użyte w temacie zadania współrzędne przyjęte przez Kropkę+ są lepsze, chociaż powodują konsekwencję w postaci \(\displaystyle{ v<0}\) i \(\displaystyle{ s_0\neq0}\) .

Przy podejściu Kropki+ mamy:

• \(\displaystyle{ \begin{cases}\ 120=v\cdot0+s_0 \\\ \ \ \ 0=v\cdot4+s_0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\ s_0=120\text{ km} \\\ v=-30\text{ km/h} \end{cases}}\)

... , wtedy można przekształcić go względem osi \(\displaystyle{ OY}\) i o wektor \(\displaystyle{ [0,120]}\) ...

Symetria względem osi \(\displaystyle{ OX}\) i translacja o wektor \(\displaystyle{ [0;120]}\) , albo symetria względem osi \(\displaystyle{ OY}\) i translacja o wektor \(\displaystyle{ [4;0]}\) .

[kropka+]

Po co dzielić włos na czworo? Odwołując się do wzoru na drogę \(\displaystyle{ s=vt}\) moje rozwiązanie interpretujemy następująco:
Mamy objaśnić odległość od mety, czyli \(\displaystyle{ y=120-s}\) gdzie \(\displaystyle{ s}\) to droga pokonana w czasie \(\displaystyle{ t \in [0,4]}\). Stąd

\(\displaystyle{ y=120-s=120-vt=120- \frac{120}{4 }t=120-30t}\)

Ktoś to kiedyś może czytać, więc proponuję już zakończyć ten temat

[SlotaWoj]

@Kropka+ Ale wówczas Jmoriarty może nie wiedzieć, że i w fizyce w matematyce jest to takie same zadanie.