Wyznaczanie odległości punktów od funkcji.

[m4rku1s]

Podany jest punkt A(−5,6) oraz B(−1,4). Wyznacz punkt na funkcji liniowej y = −y − 3 którego odległość do punktu A i B będzie taka sama. Proszę o rozwiązanie a nie podpowiedzi. Rozwiązaliśmy to zadanie z kolegami ale wyszły nam sporne wyniki. Ja zrobiłem to w taki sposób, że wyznaczyłem prostą przechodzącą przez A i B, wyznaczyłem środek odcinka AB i stworzyłem prostą prostopadłą do tej funkcji przechodzącą przez ten środek. Wyszło mi mniej więcej (7/5, i kurczę y nie pamiętam). To jest zadanie maturalne.

[Dilectus]

Proszę o rozwiązanie a nie podpowiedzi. [...] Wyszło mi mniej więcej (7/5, i kurczę y nie pamiętam).

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ C}\) szukany punkt na prostej \(\displaystyle{ y=-x-3}\) (napisałeś \(\displaystyle{ y = -y-3}\), ale to chyba literówka).

Mamy wówczas

\(\displaystyle{ \left( x_A-x_C\right)^2+\left( y_A-y_C\right)^2=\left( x_B-x_C\right)^2+\left( y_B-y_C\right)^2}\)

Z drugiej strony wiemy, że punkt C spełnia równanie prostej \(\displaystyle{ y=-x+3}\), mamy więc

\(\displaystyle{ y_C=-x_C-3}\)

Dostajemy więc układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} y_C=11+2x_C \\ y_C=-3-x_C \end{cases}}\)

Skąd

\(\displaystyle{ x_C=- \frac{14}{3}}\)

\(\displaystyle{ y_C= \frac{5}{3}}\)