Wykaż, że do wykresu funkcji \(\displaystyle{ y= \sqrt{2}x- \sqrt{3}}\) nie należy żaden punkt o obu współrzędnych wymiernych. Przeprowadź dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.
Nie wiem jak to zrobić, mam nadzieję, że ktoś pomoże.
Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
-
- Użytkownik
- Posty: 2
- Rejestracja: 22 lis 2012, o 17:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubelskie
- Podziękował: 1 raz
Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
Ostatnio zmieniony 20 gru 2012, o 16:51 przez loitzl9006, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
Uznajmy że \(\displaystyle{ x}\) jest wymierne czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b}}\) dla \(\displaystyle{ a,b}\) całkowitych i \(\displaystyle{ b \neq 0}\) i pokażemy że \(\displaystyle{ a}\) nie może być całkowite.
\(\displaystyle{ y= \sqrt{2} \cdot \frac{a}{b}- \sqrt{3} \ \ \ \ \ | \cdot b \\ y \cdot b= \sqrt{2} b \cdot \frac{a}{b} -\sqrt{3}b \\ y \cdot b= \sqrt{2} a- \sqrt{3} b \\ y \cdot b+ \sqrt{3} b= \sqrt{2} a \\ \\ a= \frac{y \cdot b+ \sqrt{3} b}{ \sqrt{2} } =\frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }+ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\)
Liczba \(\displaystyle{ a}\) nie może być całkowita, bo:
\(\displaystyle{ \frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }}\) jest niewymierna (wymierna podzielona przez niewymierną daje niewymierną)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\) jest niewymierna (niewymierna razy wymierną daje niewymierną)
Jeszcze wypada udowodnić (podobnie) że dla \(\displaystyle{ y= \frac{a}{b}}\) iks nie może wyjść wymierny.
Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.
\(\displaystyle{ y= \sqrt{2} \cdot \frac{a}{b}- \sqrt{3} \ \ \ \ \ | \cdot b \\ y \cdot b= \sqrt{2} b \cdot \frac{a}{b} -\sqrt{3}b \\ y \cdot b= \sqrt{2} a- \sqrt{3} b \\ y \cdot b+ \sqrt{3} b= \sqrt{2} a \\ \\ a= \frac{y \cdot b+ \sqrt{3} b}{ \sqrt{2} } =\frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }+ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\)
Liczba \(\displaystyle{ a}\) nie może być całkowita, bo:
\(\displaystyle{ \frac{y \cdot b}{ \sqrt{2} }}\) jest niewymierna (wymierna podzielona przez niewymierną daje niewymierną)
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac32 } \cdot b}\) jest niewymierna (niewymierna razy wymierną daje niewymierną)
Jeszcze wypada udowodnić (podobnie) że dla \(\displaystyle{ y= \frac{a}{b}}\) iks nie może wyjść wymierny.
Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.
Re: Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
niestety to nieprawdaloitzl9006 pisze: ↑20 gru 2012, o 17:05 Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.
-
- Użytkownik
- Posty: 22276
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3765 razy
Re: Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
Przy założeniu że `x, y` są wymierne przeniesienie składnik z pierwiastkiem z dwóch na lewą stronę, podnieś obie strony do kwadratu i uzyskaj sprzeczność
Re: Wykaż że do wykresu funkcji nie należy
\(\displaystyle{ a = \sqrt{2}, b = 2 - \sqrt{2}}\) obydwie liczby są niewymierne, natomiast ich suma jest wymiernaloitzl9006 pisze: ↑20 gru 2012, o 17:05 Suma dwóch liczb niewymiernych (które nie są przeciwne) jest liczbą niewymierną.