Zaznaczenia zbioru na płaszczyźnie

[michcio95]

Witam.. Proszę o rozwiązanie zadania albo sprawdzenia czy mam dobrze bo nie jestem pewien..

Zaznacz na płaszczyźnie zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ (x,y): x \in R \ i \ y \in R \ i \ x^{2} - 1 =0\right\}}\)

To oznacza że wykresem będzie "pionowa" prosta dla x=1 oraz x=-1 (oczywiście y należy do zbioru liczb rzeczywistych) czy coś innego? Rozumowanie mam takie źe x^2=1 więc |x|=1, x=1 lub -1, ale nie wiem czy jest prawidłowe. Bardzo proszę o pomoc. Oraz drugi przykład:

\(\displaystyle{ \left\{ (x,y): x \in R \ i \ y \in R \ i \ x \ge 3 \ i \ x+y=1\right\}}\)

Co z tym zrobić ? Czy tutaj należy 1) zaznaczyć zbiór tych \(\displaystyle{ x \ge 3}\) a następnie narysować funkcję \(\displaystyle{ f(x)=-x}\) i teraz mam pytanie: Co teraz? Czy część wspólna czy suma tych dwóch zbiorów. Bo tam w przykładzie jest spójnik "i"..

Pozdrawiam.

[Zimnx]

1) dwie proste pionowe x=1 i x=-1
2) przeksztalcasz dana funkcje do postaci kierunkowej i rozpatrzasz tylko argumenty \(\displaystyle{ x \ge 3}\)

[michcio95]

Ok. A jak się za to zabrać bo tego jeszcze nie umiem żeby zaznaczyć na płaszczyźnie:

\(\displaystyle{ |y| \cdot x=x}\)

Oraz: \(\displaystyle{ |x-|y||=1}\)

Pozdrawiam.

[Psiaczek]

\(\displaystyle{ |y| \cdot x=x}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x=0}\) to y może być dowolne. Czyli cała prosta \(\displaystyle{ x=0}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x \neq 0}\) to dzielisz stronami przez x i otrzymujesz \(\displaystyle{ \left| y\right|=1,y=-1 \vee y=1}\). Dostajesz więc jeszcze dwie proste \(\displaystyle{ y=-1,y=1}\) ale bez punktów \(\displaystyle{ (0,-1), (0,1)}\)

[michcio95]

\(\displaystyle{ |y| \cdot x=x}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x=0}\) to y może być dowolne. Czyli cała prosta \(\displaystyle{ x=0}\)

Jeżeli \(\displaystyle{ x \neq 0}\) to dzielisz stronami przez x i otrzymujesz \(\displaystyle{ \left| y\right|=1,y=-1 \vee y=1}\). Dostajesz więc jeszcze dwie proste \(\displaystyle{ y=-1,y=1}\) ale bez punktów \(\displaystyle{ (0,-1), (0,1)}\)

Ten dziwny ptaszek \(\displaystyle{ \wedge}\) to znaczy "i" czy "lub".. Przepraszam za takie banalne pytanie ale jeszcze nie miałem logiki matematycznej.

P.S. A umiesz zrobić ten 2. przykład. Pozdrawiam.

[Psiaczek]

Znaczy on "lub" . W drugim przykładzie na starcie tez dostajesz dwa przypadki.

\(\displaystyle{ x-\left| y\right|=1 \vee x-\left| y\right| =-1}\)

A dalej korzystasz z własności wartości bezwzględnej, masz to opanowane?

[michcio95]

Ok. Dziękuję bardzo za pomoc, zrozumiałem to zadanie

Tak, wartość bezwzględną mam dość dobrze opanowaną, ale to akurat trudne zadanie bo jest z literką R w zbiorze no i mam niestety problemy.

[Psiaczek]

Aha czyli I przypadek będzie dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\) to dostaniemy \(\displaystyle{ |x-y|=1}\) i co dalej zrobić bo za bardzo się w tym nie orientuję ?

No właśnie widzę że nie za bardzo. Każdy z tych dwóch co ci rozpisałem jeszcze rozbijasz na dwa korzystając z tego,że dla \(\displaystyle{ y \ge 0, \left|y \right|=y}\)

a dla \(\displaystyle{ y<0, \left| y\right|=-y}\)

Czyli ten pierwszy \(\displaystyle{ x-\left| y\right|=1}\) rozpisujesz tak:

\(\displaystyle{ (y \ge 0 \wedge x-y=1) \vee (y<0 \wedge x-(-y)=1}\)

i ten drugi podobnie.

[michcio95]

A wracając jeszcze do przykładu \(\displaystyle{ |y|x=x}\) to w tym 1. przypadku w którym x=0 to nie jest przypadkiem \(\displaystyle{ |y|=0}\) czyli prosta y=0, bo Ty napisałeś x=0, nie wiem dlaczego x a czemu nie y, wytłumaczysz ??

[Psiaczek]

A wracając jeszcze do przykładu \(\displaystyle{ |y|x=x}\) to w tym 1. przypadku w którym x=0 to nie jest przypadkiem \(\displaystyle{ |y|=0}\) czyli prosta y=0, bo Ty napisałeś x=0, nie wiem dlaczego x a czemu nie y, wytłumaczysz ??

Dlatego że gdy x=0, y może być dowolne, bo otrzymasz zawsze równość prawdziwą 0=0.

A wszystkie punkty , gdzie x=0 a y jest dowolne, tworzą właśnie prostą x=0.

Natomiast prostą y=0 tworzyłyby punkty, dla których y=0 , a x jest dowolne, zaczaiłeś? Warunek "związuje" nam zmienną i ona już się nie rusza, tylko ta druga się zmienia

[michcio95]

Ok. No powiem Ci w miarę czaję, ale to nie jest tak jeszcze na 100 procent. A co byś powiedział / poradził o przykładzie takim:

\(\displaystyle{ |x+y|+|x-y|=6}\) i:

\(\displaystyle{ |x|-|y|=2}\) Bo ich też za bardzo nie rozumiem... Tzn. trochę bym wykombinował, ale wolę być pewnym.


P.S. Czyli w tamtym przykładzie co wyszło x=0 rozwiązaniami są wszystkie punkty znajdujące się na osi Y, czy jak ?

[Psiaczek]

Ok. No powiem Ci w miarę czaję, ale to nie jest tak jeszcze na 100 procent. A co byś powiedział / poradził o przykładzie takim:

\(\displaystyle{ |x+y|+|x-y|=6}\) i:

\(\displaystyle{ |x|-|y|=2}\) Bo ich też za bardzo nie rozumiem... Tzn. trochę bym wykombinował, ale wolę być pewnym.

Zamęczysz mnie człowieku. Przypadki ładnie rozpisuj tylko nie pomyl "lub" oraz "i".

Przykładowo drugie rozpisuję bo łatwiejsze:

\(\displaystyle{ (x<0 \wedge y<0 \wedge -x-(-y)=2) \vee (x<0 \wedge y \ge 0 \wedge -x-y=2) \vee (x \ge 0 \wedge y<0 \wedge x-(-y)=2) \vee (x \ge 0 \wedge y \ge 0 \wedge x-y=2)}\)

[michcio95]

No tzn. wiem że zawsze cztery przypadki wyjdą na przykład: dla \(\displaystyle{ x \ge 0 \ i \ y \ge 0}\) byłby pierwszy przypadek itd. te cztery bym zrobił ....

I potem już wystarczy tylko poprzekształcać wzór tak ? Czyli przerzucić y na jedną stronę a x na drugą wraz z liczbami, zaznaczyć w Układzie Współrzędnym, tak? I co jak zaznaczę 4 proste, co będzie końcową odpowiedzią, część wspólna ich czy wszystkie proste jednocześnie ? Bardzo proszę o tą odpowiedź myślę że już potem sobie poradzę..