Matematyka.pl

Dana jest krzywa o równaniu y=(x+1)(2-x). Napisz równanie stycznych do krzywej w punktach przecięcia się tej krzywej z osią OX.
Znajdź kąt między stycznymi.

Jak znaleźć wzór stycznej do paraboli?

Punkty przecięcia to \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i \(\displaystyle{ (2,0)}\). Równanie stycznej do wykresu funkcji to:
\(\displaystyle{ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)}\). Liczymy pochodną funkcji f:
\(\displaystyle{ f'(x)=-2x+1\\
f'(-1)=3\\
f'(2)=-3}\).
podstawiamy do równania stycznej:
\(\displaystyle{ y_1=3x+3\\
y_2=-3x+6}\).
Kąt między prostymi policzymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ y=a_1x+b_1\\
y=a_2x+b_2\\
\tan {\alpha}= \left| \frac{a_1-a_2}{1+a_1a_2} \right|}\).

Najprościej metodą rachunku pochodnych, ale to zaawansowane narzędzie.
Warto dostrzec też prostszą, bardziej elementarną metodę poszukiwania wzoru stycznej do wykresu funkcji (nadaje się właściwie tylko dla funkcji wymiernych - w szczególności dla kwadratowej też).

Zajmiemy się punktem A=(2,0).

Zauważmy, że styczna jest prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\). Współczynnik b można łatwo uzależnić od a, wiedząc, że styczna przechodzi przez punkt A - punkt styczności. Stąd \(\displaystyle{ 0=2a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=-2a}\).
Styczna jest prostą mającą z krzywą (w tym przypadku parabolą) lokalnie dokładnie jeden punkt wspólny. Zatem równanie \(\displaystyle{ (x+1)(2-x)=ax-2a}\) ma mieć (przy pewnym \(\displaystyle{ a}\)) dokładnie jedno rozwiązanie. Mamy więc \(\displaystyle{ x^2+(a-1)x-2(a+1)=0}\) i musi być \(\displaystyle{ \Delta=0}\). Stąd można łatwo wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ a}\) i otrzymać szukane równanie stycznej wstawiając do wzoru \(\displaystyle{ y=ax-2a}\).