funkcja

[kuchcik08]

Uzasadnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R+}\) funkcja \(\displaystyle{ f(x) =\frac{x}{3}+ \frac{3}{x}}\) przyjmuje wartości niemniejsze od 2.

Proszę o pomoc

[mmoonniiaa]

\(\displaystyle{ D_f=R-\{0\} \\
f(x)= \frac{x^2}{3x}+ \frac{3 \cdot 3}{3x} = \frac{x^2+9}{3x} \\
f(x) \ge 2 \Leftrightarrow \frac{x^2+9}{3x} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{x^2+9}{3x} - \frac{2 \cdot 3x}{3x} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x^2-6x+9}{3x} \ge 0 \Leftrightarrow 3x(x-3)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in <0;+ \infty ) \wedge x \in D \Leftrightarrow x \in R_+ \ c.n.u.}\)

[wb]

\(\displaystyle{ \frac{x}{3} + \frac{3}{x} \ge 2 \\ \frac{x}{3} + \frac{3}{x}- 2 \ge 0 \\ \frac{x^2-6x+9}{3x} \ge 0 \\ \frac{(x-3)^2}{3x} \ge 0}\)

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in R_+}\) zatem i wszystkie wcześniejsze - równoważne także.

[kuchcik08]

ok, dzieki )