Nierówność liniowa z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji liniowych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI 1. stopnia. Układy równań i nierówności liniowych.
Bellward
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 22 lip 2016, o 19:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Bellward » 22 maja 2020, o 22:00

Jaki proces myślowy krok po kroku przewodzi rozwiązaniu tego typu zadania? O ile nierówności ze zmiennymi potrafię rozwiązywać, tak tutaj nie do końca wiem o co pytają.
Proszę o pomoc w zrozumieniu zadania.

Zadanie:
Zbiorem rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ a \cdot x+4 \ge 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) jest przedział \(\displaystyle{ (-\infty ;2\rangle}\). Wyznacz \(\displaystyle{ a}\).
Ostatnio zmieniony 22 maja 2020, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26422
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski » 22 maja 2020, o 22:22

To może najpierw wybierz sobie kilka konkretnych \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ a=1, a=2, a=-1}\), podstaw i rozwiąż nierówność (to chyba potrafisz). Dodatkowo skojarz rozwiązywane nierówności z wykresami konkretnych funkcji liniowych (wyrażenia po lewej stronie nierówności potraktuj jako równania prostych). Postaraj się coś zauważyć.

JK

Bellward
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 22 lip 2016, o 19:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Bellward » 23 maja 2020, o 18:29

Rozumiem, dziękuję.
Dlaczego jak się przenosi zmienną \(\displaystyle{ a}\) na drugą stronę, zakładając że jest ona liczbą ujemną, to zmienia się tylko znak nierówności, a prawej stronie nierówności nie dodaje się minusa?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26422
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski » 23 maja 2020, o 18:38

Bellward pisze:
23 maja 2020, o 18:29
Dlaczego jak się przenosi zmienną \(\displaystyle{ a}\) na drugą stronę, zakładając że jest ona liczbą ujemną, to zmienia się tylko znak nierówności, a prawej stronie nierówności nie dodaje się minusa?
Co to znaczy "przenosi zmienną na drugą stronę"? Jeżeli "przenoszenie" to obustronne dodawanie tej samej wielkości, to zwrot nierówności nie zmienia się.

Pokaż może na przykładzie, o co Ci chodzi.

JK

Bellward
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 22 lip 2016, o 19:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Bellward » 23 maja 2020, o 19:06

\(\displaystyle{ a \cdot x+4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \cdot x \ge -4 }\)
\(\displaystyle{ x \ge \frac{-4}{a} \vee x \le \frac{-4}{a} }\)
Ostatnio zmieniony 23 maja 2020, o 19:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26422
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4422 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski » 23 maja 2020, o 19:44

Bellward pisze:
23 maja 2020, o 19:06
\(\displaystyle{ a \cdot x+4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ a \cdot x \ge -4 }\)
\(\displaystyle{ x \ge \frac{-4}{a} \vee x \le \frac{-4}{a} }\)
Operacja, którą wykonujesz, to podzielenie obu stron nierówności przez liczbę \(\displaystyle{ a}\) (to nie jest "przenoszenie na drugą stronę"). Żeby móc to zrobić, musisz przede wszystkim wiedzieć, że \(\displaystyle{ a\ne 0}\). Po drugie, w zależności od znaku liczby \(\displaystyle{ a}\) zmienia się bądź nie zwrot nierówności. Jednak nie możesz napisać

\(\displaystyle{ x \ge \frac{-4}{a} \vee x \le \frac{-4}{a} }\)

bo taki napis oznacza zarówno \(\displaystyle{ x \ge \frac{-4}{a}}\) jak i \(\displaystyle{ x \le \frac{-4}{a}}\) spełniają daną nierówność, a to nieprawda. Jeżeli nie znasz znaku liczby \(\displaystyle{ a}\), to musisz wyraźnie zaznaczyć, że rozpatrujesz dwa przypadki i właściwie je opisać.

W tym zadaniu istotne jest dla Ciebie zauważenie, jaką postać ma zbiór rozwiązań nierówności w zależności od znaku liczby \(\displaystyle{ a}\) (i dlatego zaproponowałem Ci konkretne przykłady), a następnie dobranie takiej konkretnej liczby \(\displaystyle{ a}\), by ten zbiór wyglądał dokładnie tak, jak zażądano w zadaniu.

Natomiast zupełnie nie rozumiem, dlaczego mielibyśmy "dodawać minus po prawej stronie nierówności" - w matematyce niczego się ot tak nie dodaje. Wykonuje się za to przekształcenia (w tym wypadku zależy nam na przekształceniach równoważnych), których skutkiem może być np. pojawienie się minusa. Ale w tym przypadku żadnego takiego przekształcenia nie wykonujemy.

JK

Bellward
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 22 lip 2016, o 19:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 7 razy

Re: Nierówność liniowa z parametrem

Post autor: Bellward » 23 maja 2020, o 20:12

Dziękuję za zaangażowanie w temacie. Problem rozwiązany.

ODPOWIEDZ