Pochodne funkcji

[miki999]

Pochodna dotyczy oczywiście tylko ostatniego nawiasu. Nie widzę błędu.

[evelinaa]

Na końcu:
\(\displaystyle{ (...)*(-sin4x)*4)}\)

Teraz spróbuj:
\(\displaystyle{ (log_{sin(2x^{2})}\ x^{2}+3)'}\)

\(\displaystyle{ sin(2x^{2}) \ jest\ w\ podstawie\ logarytmu.}\)

sprobowalam rozwiazac, ale nie wiem czy to tak bedzie :

\(\displaystyle{ \frac{1}{cos2x^{2} + sin4x} \ast (x^{2}+3) \ast (log_{sin(2x^{2})}(2x)}\)


2.

\(\displaystyle{ ( sin(3x) \ast e^{cos4x} )' = (cos 3x \ast 3) (e^{cos4x}) + sin3x (e^{cos4x} \ast (-sin4x) \ast 4 )}\)

czy bardzo podobny przyklad rozwiazemy tak samo? :

\(\displaystyle{ ( sin(3x) \ast e^{4x} )'}\)

zaczyna mi sie mylic, kiedy ciągle miedzy nawiasami jest mnozenie, a kiedy "wchodzi +" ;/

[miki999]

2. Również poprawnie zrobione- sama już chyba widzisz, że to się schematycznie robi.

Podpowiedź do mojego przykładu:
\(\displaystyle{ log_{a}b= \frac{log_{c}b}{log_{c}a}}\)

[evelinaa]

a co oznacza c, bo ja tu zadnego nie widze;p ?

[miki999]

Że możesz sobie wziąć jakie chcesz :> . Domyślnie proponuję wziąć za nie liczbę Eulera .

[evelinaa]

liczbe eulera ? ; D ten przyklad jest dla mnei za skomplikowany jednak;p


1. (arcsin (1-x))' = \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-(1-x)^{2}} } \ast (-1)}\) gdzies moglam znak pomylic, bo mi sie nie zgadza z odp.


2.\(\displaystyle{ (sin^{2}3t)' = 2sin3x \ast (cos3x \ast 3}\) , w ksiazce jest wynik 3sin 6x, jak to w ogole mozliwe? przeciez tu pojawia sie jeszcze cosinus

3. mam pytanie do zadANIAnapisanego wczesniej :

\(\displaystyle{ (sin 2xcos3x)}\) nie bylo tutaj wiecej nawiasow, czy zamiast formy, ktora wyzej podales mogloby byc tak : cos(2xcos3x) + sin(2xcos3x)' ?

4. \(\displaystyle{ ( \frac{1}{1+ \sqrt{1+x^{2}} } )'}\) = ?

5. \(\displaystyle{ (2sin^{3}2x)'}\) =\(\displaystyle{ 6sin^{2}2x \ast ...}\) w miejscu tych kropek wpisuje pochodna sin2x , czy 2sin2x? bo nie wiem czy uwzglednia sie ta pierwsza dwojke z przykladu? jakbym ja napisala to i tak liczac pochodna sie wyzeruje, ale nie wiem jak to poprawnie ma wygladac, zeby sie tam nikt nie przyczepil

chyba mi sie pomylilo, ta 2 wcale by sie jednak nie wyzerowala, gdyby tam byla...

[miki999]

1. ok.
2. Taki sam wynik mi wyszedł, możliwe, że po użyciu jakichś wzorów redukcyjnych można otrzymać taki wynik.
3. Jakieś dziwne złożenie. Nie wiem w jaki sposób zostały otrzymane złożenia funkcji.
4. Tradycyjnie ze wzoru na ułamek. Nie warto się w nic bawić:
\(\displaystyle{ \frac{(1)' (1+ \sqrt{1+x^{2}})-(1+ \sqrt{1+x^{2}}) }{(1+ \sqrt{1+x^{2}})^{2}}}\)
5.sin2x, bo:
\(\displaystyle{ (2sin^{3}2x)'=2 (sin^{3}2x})'}\)
A że w przykładzie masz same mnożenie to już na początku wymnożyłaś.

[evelinaa]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} } } = \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x^{ \frac{7}{4}} } } = \sqrt[3]{x^{2} x^{ \frac{7}{8}} } = \sqrt[3]{x^{ \frac{23}{8}} } = x^{ \frac{23}{24} } \\ (x^{ \frac{23}{24}})'= \frac{23}{24} x^{ -\frac{1}{24} }}\)

mam taki przyklad :
\(\displaystyle{ ( \sqrt{x+ \sqrt{x} })' = \frac{1}{2 \sqrt{x+ \sqrt{x} } } \ast (x + \sqrt{x} )'}\)

czy w ten sam sposob mozna wyliczyc cytowany przyklad?? :

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} } }}\) =\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} } }}}\) \(\displaystyle{ \ast (x ^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}})'}\)

[miki999]

1. Przykład oczywiście zaczęty poprawnie.

2. W tym przykładzie masz pierwiastek 3 stopnia, czyli robiąc podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} } \\ Otrzymujemy: \\ ( \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} }})'=(t^{1/3})' (x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} })'= \frac{1}{3} t^{-2/3} (x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} })' = \frac{1}{3 ( \sqrt[3]{(x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} })^{2}} } (x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} })'}\)

Jednak teraz musisz robić kolejne podstawienia i bawić się w iloczyny funkcji, co może być trochę czasochłonne. Nie wspominam już o późniejszym sprowadzaniu układu do najprostszej postaci

[evelinaa]

ok, po prostu chcialam wiedziec, czy tak tez moge

jak sie liczy pochodne, jezeli podnosimy do potegi x?

1. \(\displaystyle{ [(4x+3)^{x}]'}\)

2. \(\displaystyle{ (x ^{ \frac{1}{x} })'}\)

3.\(\displaystyle{ [(sin2x)^{x^{2}}]'}\)

[miki999]

1. robisz podstawienie t=4x+3
2. korzystasz z tego, że:
\(\displaystyle{ f^{g}=e^{g lnf}\\ Natomiast: \ (e^{f})'=e^{f} (f)'}\)
3. to samo, co w drugim.

[evelinaa]

a czego w 1 nie korzystam z tego co w przykladzie drugim ? w koncu tez podnosze do potegi x...

ale ten wzor stosujemy tylko wtedy, gdy podnosimy cos do x'a?
\(\displaystyle{ f^{g}=e^{g \cdot lnf}\\ Natomiast: \ (e^{f})'=e^{f} \cdot (f)'}\)


2. no i mam jeszcze takie pytanie, bo tak patrze na te przyklady i zaczyna mi sie to mieszac :

\(\displaystyle{ (\sqrt{x^{3}cos x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}cosx} } \ast ( x^{3} cosx)'}\)

(xsin4x)'= (x)' (sin4x) + x(sin4x)'

dlaczego w pierwszym przykladzie pojawia się razy a w drugim plus (tak jakby w tym samym miejscu) ?
dlaczego w tym drugim przykladzie nie moze byc zasady takiej jak w przykladzie 1?
(xsin4x)'=(x)'(sin4x) \(\displaystyle{ \ast}\)(sin4x)' ??

[miki999]

1. Oczywiście w 1. przykładzie też możesz skorzystać z tej zasady, co w przykładzie nr 2 i 3.

2. '2' powinno być w mianowniku zamiast w liczniku. Stosujemy tu podstawienie.

(xsin4x)'- mamy tu wzór na pochodną iloczynu funkcji. W poprzednim przykładzie mieliśmy złożenie funkcji.

[evelinaa]

no pewnie,ze iloczyn , z tym xsin4x to wystrzelilam

ale np. \(\displaystyle{ (x^{2}2^{x}cosx)'}\) to funkcja zlozona, a pojawia sie mi tu plus...no nie wiem, albo ja po prostu nie rozumiem pojecia funkcji zlozonej?

[M Ciesielski]

ten przykład który podałaś, to nie jest funkcja złożona, tylko funkcja będąca iloczynem trzech funkcji, korzystasz wtedy ze wzoru:

\(\displaystyle{ (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'}\)

gdzie u, v, w to funkcje