Pochodne funkcji

[evelinaa]

a skad to sie bierze?

[miki999]

Przepraszam, znowu mój błąd. Masz poprawne rozwiązanie. Mylą mi się stosowane przez Ciebie metody

[evelinaa]

ja sama tez sie juz myle ;p

a jak to uproscic , zeby wyszedl wynik z ksiazki : \(\displaystyle{ \frac{3-x}{2(1-x)^{3/2}}}\)

[miki999]

Wydaje mi się, że wynik już jest uproszczony.

[evelinaa]

ok, a taki przyklad, podobny :

\(\displaystyle{ ( \frac{1}{ \sqrt{2-3x} } )'}\) chodzi mi o to , czy moglbys mi rozpisac ostatni wyraz, ktory bedzie w liczniku, tylko nie od razu jego gotowa postac, tylko jak do niej dojsc ?

[miki999]

To zależy jakiej metody oczekujesz. Ja najchętniej obliczyłbym to przez podstawienie. Jak napiszesz o jaką metodę Ci chodzi to zedytuję tego posta.

[evelinaa]

Chodzi mi o taka metode :

2. Ten przykład można doprowadzić do prostszej postaci:
\(\displaystyle{ \frac{x^{1/2}+x^{-1}}{x}= \frac{x^{1/2}}{x}+ \frac{x^{-1}}{x}=x^{1/2} x^{-1}+x^{-1} x^{-1}=x^{-1/2}+x^{-2} \\ Obliczenie \ pochodnej\ jest\ trywialne: \\ (x^{-1/2}+x^{-2})'=- \frac{1}{2 \sqrt{x^{3}} }- \frac{2}{x^{3}}}\)

[miki999]

W tym przykładzie nie można zastosować tej metody. Gdyby wszystkie zmienne były pewną potęgą liczby x to by się dało, jednak tu jest inaczej. Nie da się tego przykładu doprowadzić do prostszej postaci, chyba, że: \(\displaystyle{ (2-3x)^{-1/2}}\), co prowadzi nas do podstawienia: t=2-3x i mamy:
\(\displaystyle{ ((2-3x)^{-1/2})'=(t^{-1/2})' (-3)=3 \frac{1}{2}t^{-3/2}= \frac{3}{2(2-3x)^{3/2}}}\)

[evelinaa]

ok , wydaje mi sie,ze to zrozumialam, dzieki

1.\(\displaystyle{ y= \frac{3 \sqrt{x} }{x^{2}+1}}\) chodzi mi o sprawdzenie licznika : \(\displaystyle{ \frac{3x^{2}+3}{2 \sqrt{x} } -6x \sqrt{x}}\) ?

2. \(\displaystyle{ ( \sqrt{x^{3}\ast cosx})'}\) =\(\displaystyle{ ( \frac{1}{2 \sqrt{x^3\ast cosx} }) \ast(3x^{2}\ast cosx) + (x^{3}\ast(-sinx)}\) dlaczego tu sie pojawia miedzy nawiasami plus a nie znak mnozenia? w koncu liczylam ze wzoru \(\displaystyle{ f'(g(x)) \ast g'(x)}\) ?

[miki999]

1. ok
2. Coś z nawiasami pomieszane jest, powinno być:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{x^{3} cosx})'= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3} cosx} } (x^{3} cosx)'= \frac{1}{2 \sqrt{x^{3} cosx} } (3x^{2} cosx-x^{3} sinx)}\)

Po pierwszym znaku równości zastosowałem w pamięci podstawienie, a dalej mamy iloczyn funkcji.

[evelinaa]

w porządku, teraz juz widze

1.\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{1-2x}{x} }}\) prosilabym o pelne rozpisanie tego

2.\(\displaystyle{ e^{-x}}\),

\(\displaystyle{ (e^x)'=e^x}\), a z ta minusowa potega cos mi nie wychodzi

[miki999]

1.
\(\displaystyle{ Podstawienie:\ t= \frac{1-2x}{x} \\ ( \sqrt{\frac{1-2x}{x}} )'=(t^{1/2})' \cdot ( \frac{1-2x}{x})'= \frac{1}{2 \sqrt{t} } \cdot ( \frac{1}{x} - \frac{2x}{x})'}\)

Zamiast 't' napisać to, co podstawialiśmy, a pochodna w nawiasie łatwo obliczyć.

2. Pochodne postaci:
\(\displaystyle{ e^{f(x)}\ (dalej\ bede\ stosowal\ samo\ 'f')}\)
Liczymy tak:
\(\displaystyle{ (e^{f})'=e^{f} \cdot (f)'}\)

[evelinaa]

1. a no tak mozna to bylo rozbic potem np. na 2 ulamki sobie, nie zauwazylam ;

2. czyli np. \(\displaystyle{ (e^{3x})'}\)=\(\displaystyle{ 3\ast e^{3x}}\)

\(\displaystyle{ ( e^{sinx})'}\)=\(\displaystyle{ cosx \ast e^{sinx}}\) , tak ?

masz racje, poprawilam to, bo pozniej naucze sie tak pisac i nie bede sie mogla pozniej tego pozbyc ;p

[miki999]

\(\displaystyle{ \bigwedge}\)
Dzięki.


Gdyby tylko był tam znak pochodnej to tak. Wiem, że czasami nieformalnie rozpisujemy przykłady, ale takie coś jest niedopuszczalne i może wejść Ci w nawyk.

[evelinaa]

1. \(\displaystyle{ (cos^{3}2x)' = 3cos ^{2} 2x \ast (-sin 2x + cos 2)}\), dobrze?

2. napisze przyklad, z ktorego poprzednio napisalam tu tylko jeden element ;p

\(\displaystyle{ (sin^{3} \sqrt{ \frac{1-2x}{x} })' = 3sin^{2} \sqrt{ \frac{1-2x}{x} } \ast (sin \sqrt{ \frac{1-2x}{x} } )' = 3sin^{2} \sqrt{ \frac{1-2x}{x} } (cos \sqrt{ \frac{1-2x}{x} } -sin \frac{1}{x^2})}\) i znowu cos musialam namieszac, bo odpowiedz jest inna