Pochodne funkcji

[evelinaa]

Nie bede pisac calych funkcji tylko poszczegolne jej elementy, od ktorych nie wiem jakie sa pochodne :

1.\(\displaystyle{ 2x^{5}}\)= \(\displaystyle{ 10^{4}}\) ?

2. \(\displaystyle{ 3\sqrt[5]{x}}\) = ?

3.\(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\)= ?

4.\(\displaystyle{ 2^{x}}\)=\(\displaystyle{ 2^{x} x ln_{2}}\) dobrze to jest? za logarytmem dwojka bedzie w dolnym indeksie, czy powinno byc ln2?

5.\(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt[4]{x} }}\)=?

[miki999]

\(\displaystyle{ (2x^{5})'=10x^{4} \\ (3 \sqrt[5]{x} )'=(3x^{ \frac{1}{5} })'=3* \frac{1}{5} x^{ -\frac{4}{5}} \\ ( \frac{1}{x} )'=(x^{-1})'=-x^{-2} \\4. \ bez\ x:\ 2^{x}ln2\ \\ ( \frac{3}{x^{1/4}} )'=(3x^{-1/4})'=3* \frac{-1}{4} *x^{- \frac{5}{4} }}\)

[evelinaa]

1. \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^2}}\)

2. \(\displaystyle{ 4x^{- \frac{1}{2}} - 3x^{-11}}\)

[jarzabek89]

1)\(\displaystyle{ [x^{\frac{2}{5}}]'=\frac{2}{5}x^{-\frac{3}{5}}}\)
2)\(\displaystyle{ 4*(-\frac{1}{2})x^{\frac{-3}{2}}+33x^{-12}}\)

[evelinaa]

1. f(x)=\(\displaystyle{ \frac{4x^5}{ \sqrt{2+ \sqrt{3} }}}\), w liczniku wiem , ze bedzie \(\displaystyle{ 20x^4}\), ale nie wiem jak policzyc mianownik.

2.\(\displaystyle{ 4{x^3}\sqrt{x}}\) = \(\displaystyle{ 4x{^ \frac{7}{2} }}\),
nastepnie pochodna to \(\displaystyle{ 14x{^ \frac{5}{2}}\) i nie wiem jak dalej jest liczone, ze wychodzi ostatecznie \(\displaystyle{ 14x^{2} \sqrt{x}}\) ??

[jarzabek89]

1) Mianownik to stała, tego nie liczysz.
2) Od \(\displaystyle{ \frac{7}{2}}\) odejmujesz 1. Czyli zostaje \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)a to jest 2 +\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[evelinaa]

Ok to jest 2 + 1/2 , czyli zarowno przez 2 jak i 1/2 poteguje x'a?

1. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2 \sqrt{x \sqrt[4]{x^3}}}}\), policzylam dotad,ze :

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^2 \sqrt{x}\frac{7}{4}}}\) i nie wiem co dalej

[jarzabek89]

\(\displaystyle{ x^{\frac{5}{2}}=x^{2+\frac{1}{2}}=x^{2}x^{\frac{1}{2}}}\)

1)Nie mam pojęcia co zrobiłaś
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{20x^{4}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\) I tak to zostawiasz.

PS.A to nowa pochodna, przepraszam za niezrozumienie.

[miki999]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x \sqrt[4]{x^{3}} } } = \sqrt[3]{x^{2} \sqrt{x^{ \frac{7}{4}} } } = \sqrt[3]{x^{2} x^{ \frac{7}{8}} } = \sqrt[3]{x^{ \frac{23}{8}} } = x^{ \frac{23}{24} } \\ (x^{ \frac{23}{24}})'= \frac{23}{24} x^{ -\frac{1}{24} }}\)

[evelinaa]

\(\displaystyle{ x^{\frac{5}{2}}=x^{2+\frac{1}{2}}=x^{2}x^{\frac{1}{2}}}\)

a jakbym to rozpisala w inny sposob czyli : \(\displaystyle{ 14 \frac{1}{ \sqrt[2]{x^5}}}\) to byloy zle?


jaka bedzie roznica miedzy, jakie beda te pochodne :
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x ^{- \frac{2}{5}}\) a \(\displaystyle{ \frac{1}{2} x ^{ \frac{2}{5}}\) ??

[jarzabek89]

Tak, byłoby źle ponieważ \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}=x^{-\frac{5}{2}}}\)

[evelinaa]

wroce jeszcze do tego przykladu:
2. \(\displaystyle{ 3\sqrt[5]{x}}\) . czyli zgodnie z tym co napisales wyzej, to bedzie : \(\displaystyle{ \frac{3}{5} \ast x ^{- \frac{4}{5}}\) = \(\displaystyle{ \frac{3}{5 \sqrt[5]{x^4} }}\), dobrze?

[jarzabek89]

Teraz dobrze.

[evelinaa]

a taki przyklad? niby to jest dodawanie ale pojawiaja mi sie w tym kreski ulamkowe czyli stosujemy jeszcze dwa razy wzor na dzielenie?:

1. \(\displaystyle{ \frac{2}{x^6} + \frac{3} {\sqrt[4]{x}}}\)

2. \(\displaystyle{ ( x^4 + x^3-2)(2x^4 -x^2 +7x+5)}\)= \(\displaystyle{ (4x^3+3x^2)(2x^4-x^2+7x+5) + (x^4+x^3-2)(8x^3-2x+7)}\) dobrze? zostawia sie to w takiej postaci?

3. i jeszcze wroce na chwile do jednego przykladu czyli jakbym rozpisala w inny sposob czyli : \(\displaystyle{ 14 \frac{1}{ \sqrt[2]{x^5}}}\) to byloy zle, ale zamiast \(\displaystyle{ 14x^2 \sqrt{x}}\) mozna napisac, ze to jest \(\displaystyle{ 14 \sqrt{x^5}}\) ?

[miki999]

Kilka przydatnych wzorów:
\(\displaystyle{ (x^{n})'=n x^{n-1} \\ (af(x))'=a(f(x))' ,\ gdzie\ a=const. \\ (f(x)+g(x))'=(f(x))'+(g(x))' \\ \sqrt[n]{x^{k}} =x^{ \frac{k}{n}} \\ \frac{1}{x^{n}}=x^{-n} \\ \\ \frac{14}{ \sqrt[2]{x^{5}} }=14x^{- \frac{5}{2} }}\)