Matematyka.pl

Wyznacz monotonicznosc i ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-x }{ e^{x} }}\)
Z góry dziekuje za pomoc :*

\(\displaystyle{ f(x)=(x^2-x)e^{-x} \\
f'(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x)e^{-x}=(3x-x^2-1)e^{-x} \\
f'(x)=0 3x-x^2-1=0 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \ \ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)
Pochodna zmienia znaki:
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) z - na +
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) z + na -
Stąd funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) ma minimum lokalne, następnie jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) ma maksimum lokalne, a następnie jest ona malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\infty\right)}\).

Dziekuje =*