Wyznacz monotonicznosc i ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-x }{ e^{x} }}\)
Z góry dziekuje za pomoc :*
Monotonicznosc i ekstrema
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
Monotonicznosc i ekstrema
Ostatnio zmieniony 25 lis 2008, o 14:45 przez 88Tatiana88, łącznie zmieniany 1 raz.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Monotonicznosc i ekstrema
\(\displaystyle{ f(x)=(x^2-x)e^{-x} \\
f'(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x)e^{-x}=(3x-x^2-1)e^{-x} \\
f'(x)=0 3x-x^2-1=0 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \ \ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)
Pochodna zmienia znaki:
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) z - na +
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) z + na -
Stąd funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) ma minimum lokalne, następnie jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) ma maksimum lokalne, a następnie jest ona malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\infty\right)}\).
f'(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x)e^{-x}=(3x-x^2-1)e^{-x} \\
f'(x)=0 3x-x^2-1=0 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \ \ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)
Pochodna zmienia znaki:
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) z - na +
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) z + na -
Stąd funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) ma minimum lokalne, następnie jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) ma maksimum lokalne, a następnie jest ona malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\infty\right)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań