Monotonicznosc i ekstrema

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
88Tatiana88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Monotonicznosc i ekstrema

Post autor: 88Tatiana88 » 25 lis 2008, o 13:48

Wyznacz monotonicznosc i ekstrema funkcji
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}-x }{ e^{x} }}\)
Z góry dziekuje za pomoc :*
Ostatnio zmieniony 25 lis 2008, o 14:45 przez 88Tatiana88, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Monotonicznosc i ekstrema

Post autor: scyth » 25 lis 2008, o 15:14

\(\displaystyle{ f(x)=(x^2-x)e^{-x} \\
f'(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x)e^{-x}=(3x-x^2-1)e^{-x} \\
f'(x)=0 3x-x^2-1=0 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \ \ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)

Pochodna zmienia znaki:
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) z - na +
- w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) z + na -
Stąd funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3-\sqrt{5}}{2}}\) ma minimum lokalne, następnie jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)}\), w punkcie \(\displaystyle{ \frac{3+\sqrt{5}}{2}}\) ma maksimum lokalne, a następnie jest ona malejąca w przedziale \(\displaystyle{ \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\infty\right)}\).

88Tatiana88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 23 lis 2008, o 13:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań

Monotonicznosc i ekstrema

Post autor: 88Tatiana88 » 25 lis 2008, o 16:51

Dziekuje =*

ODPOWIEDZ