Pochodna funkcji jednostronnej

[MakCis]

Nie za bardzo rozumiem jak należy szukać jednostronnej funkcji pochodnej. Weźmy jakiś prosty przykład, powiedzmy, że chciałbym policzyć pochodną jednostronną funkcji \(\displaystyle{ f(x)=3-x^2}\) w punktach \(\displaystyle{ x=-2}\) i \(\displaystyle{ x=2}\). Mógłby ktoś wytłumaczyć mi jak rozwiązać taki przykład?

[natkoza]

hmm.... można to zrobić bezpośrednio z definicji, albo tak:
funkcja f jest różniczkowalna więc \(\displaystyle{ f'_+}\)(pochodna prawostronna)[/latex]=f'_-[/latex](pochodna lewostronna)
zatem \(\displaystyle{ f'(-2)=f'_+(-2)=f'_-(-2)=-2\cdot (-2)=4}\)
podobnie dla \(\displaystyle{ x=2}\)

zapamiętaj jeżeli funkcja jest różniczkowalna to policzenie pochodnych obustronnych jest równoznaczne z policzeniem pochodnej w zadanym punkcie, bo te pochodne są równe.

a z definiji pochodnj lewo- i prawostronnej liczysz poprostu:
\(\displaystyle{ \lim_{h\to -2^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{3-(-2)^2+4h+h^2-3+(-2)^2}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{4h+h^2}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{h(4+h)}{h}= 4}\)
podobnie z pochodną lewostronną

[MakCis]

Ok, już chyba rozumiem.

zapamiętaj jeżeli funkcja jest różniczkowalna

A funkcja jest różniczkowalna jeśli jest ciągła, tak? Dobrze zapamiętałem?

[natkoza]

dokładnie tak ale na odwrót już nie

[meninio]

No nie do końca....Jest szereg funkcji, które są ciągłe, ale nie różniczkowalne w sposób ciągły. Funkcja \(\displaystyle{ |x|}\) jest ciągła w swojej dziedzinie, ale w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\) różniczkowalna nie jest.

[natkoza]

różniczkowalna \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) ciągła ale ciągła \(\displaystyle{ \not\Rightarrow}\) różniczkowalna o to mi chodziło

[gr4vity]

\(\displaystyle{ \lim_{h\to -2^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{3-(-2)^2+4h+h^2-3+(-2)^2}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{4h+h^2}{h}=\lim_{h\to -2^+}\frac{h(4+h)}{h}= 4}\)
podobnie z pochodną lewostronną

Dlaczego \(\displaystyle{ h}\) dąży do \(\displaystyle{ -2}\), a nie do zera? Przecież z definicji:
\(\displaystyle{ f'(x_{0})=\lim_{h\to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\)

[Jan Kraszewski]

Bo się piszącemu pomyliło...

JK