Pochodne f-cji złożonych i pochodne z definicji

[My4tic]

Mam dwa pytanka teoretyczne bo moje książki jakoś mało o tym wspominają

1) Jakie f-cje uznajemy za złożone i jaki jest schemat wyznaczania pochodnych f-cji złożonych?

2) Jak obliczyć z definicji pochodną f-cji w przypadku kiedy mamy podaną jedynie f-cje?
Np.:
\(\displaystyle{ f(x)=x^3-x^2+1}\)

lub

\(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}\)

[olazola]

1) Jeśli chodzi o funkcje złożone to są one postaci f(g(x)), mało ten zapis mówi, więc kilka przykładów funkcji złożonych: \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x^2+1},\ g(x)=cos5x,\ h(x)=\(3x+5\)^6}\)
Pochodne tego rodzaju obliczamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \(f(g(x))\)^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)}\)

2) Z definicji liczymy pochodne funkcji w punkcie np. \(\displaystyle{ x_{0}}\), ze wzoru: \(\displaystyle{ f^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\)

Weźmy funkcję g(x) i policzmy jej pochodną z def. w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\)
\(\displaystyle{ g^{\prime}(x_{0})=\lim_{h\to 0}\(\frac{1}{\sqrt{x_{0}+h-1}}-\frac{1}{sqrt{x_{0}-1}}\)\cdot\frac{1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}-1}-\sqrt{x_{0}+h-1}}{\sqrt{x_{0}+h-1}\cdot\sqrt{x_{0}-1}}\cdot\frac{1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\(\sqrt{x_{0}-1}-\sqrt{x_{0}+h-1}\)\(\sqrt{x_{0}-1}+\sqrt{x_{0}+h-1}\)}{\sqrt{x_{0}+h-1}\cdot\sqrt{x_{0}-1}\(\sqrt{x_{0}-1}+\sqrt{x_{0}+h-1}\)}\cdot\frac{1}{h}=\\=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot\frac{x_{0}-1-(x_{0}+h-1)}{(x_{0}-1)\sqrt{x_{0}+h-1}+(x_{0}+h-1)\sqrt{x_{0}-1}}=\frac{-1}{2(x_{0}-1)\sqrt{x_{0}-1}}=\frac{-1}{2\sqrt{(x_{0}-1)^3}}}\)

[My4tic]

Wilkie dzięki Masz piffko u mnie Pewnie troche sie nagimnastykowałaś przy pisaniu tego Thx

[olazola]

Jak chcesz zobaczyć jak bardzo, to zastosuj opcje odpowiedz cytatem . A ostatnia poprawka to tylko kwestia estetyki

[My4tic]

Jeszcze raz dzięki. Pewnie przyda się jeszcze komuś poza mną