Monotoniczność/ekstrema - zadania.

[My4tic]

1) Ustal monotoiczność
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2+4x+4}{x+1}}\)

Odp:
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}}\)
Miejsce zerowe: x=-2
Funkcja malejąca.

2) Wyznacz ekstrema:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x^2-1}{x-1}}\)

Odp.:
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2x^2-4x+1}{x^2-2x+1}}\)

Dalta: \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ x1= 1-\frac{\sqrt2}{2}}\)
\(\displaystyle{ x2= 1+\frac{\sqrt2}{2}}\)

x1=max, x2=min

Jak ktos znajdzie chwile to niech to sprawdzi bo pewnie błędy zrobiłem

Edit by Tomek R.: Pisz regulaminowe tematy. Ten poprawiłem.

[olazola]

Pochodne dobrze policzone.
Jeśli chodzi o 1) to pochodna zeruje sie jeszcze dla 0, wtedy rysujemy parabole o miejscach zerowych w 0 i -2, i odczytujemy gdzie ma wartości dodatnie (f-cja rosnąca) a gdzie wartości ujemne (f-cja malejąca).

[ptaq]

f'(x)=0 x^2+2x=0 => x(x-2)=0 => f'(x)=0 x=0 lub x=(-2)

f(-2)max=0
f(0)min=4

\(\displaystyle{ f(x)\nearrow\ dla\ x\in(-\infty;-2), (0,+\infty)\\f(x)\searrow\ dla\ x\in (-2,0)}\)

[Edit: olazola] Zapoznaj się z oznaczeniami na forum.

[My4tic]

Jak interpretowac wyniki podczas obliczanie ekstremów? Wychodzą miejsca zerowe i skąd mam wiedzieć które jest minimum a które maksimum? Czy chodzi tu o zmiane znaku pochodnej z + na - i odwrotnie?

[olazola]

Dokładnie o to chodzi. Wiadomo, że jeśli pochodna ma wartości dotatnie to funkcja jest rosnąca, jeśli wartości ujemne - funkcja malejąca, w miejsach zerowych pochodnej jeśli obserwujemy zmianę zanku, czyli np. z lewej strony f-cja jest rosnąca (wart. dodatnie) a z prawej malejąca (wart. ujemne) to funkcja w tym miejscu ma max.

[My4tic]

Dziękuję za pomoc