Przestrzeń styczna
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 20 cze 2022, o 17:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 4 razy
Przestrzeń styczna
Czy będzie ktoś łaskawy sprawdzić, czy to jest dobrze rozwiązane, pomijając uproszczony zapis niektórych oznaczeń?
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Re: Przestrzeń styczna
W zadaniu należało wyznaczyć przestrzeń styczną, opisując ją funkcją afiniczną z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR^4}\). Twoje rozwiązanie kończy się określeniem jakiejś funkcji afinicznej z \(\displaystyle{ \RR^2}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), więc nie odpowiada na zadane pytanie.
W ogóle wydaje się, że pracujesz z zupełnie innym zbiorem, bo zamiast dwóch równań u Ciebie pojawia się tylko jedno, będące wnioskiem z tamtych dwóch.
W ogóle wydaje się, że pracujesz z zupełnie innym zbiorem, bo zamiast dwóch równań u Ciebie pojawia się tylko jedno, będące wnioskiem z tamtych dwóch.
Ostatnio zmieniony 24 cze 2022, o 11:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 20 cze 2022, o 17:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 4 razy
Re: Przestrzeń styczna
Bardzo dziękuję za odpowiedź
Czy będziesz łaskaw:
a) nakierować mnie na sposób rozwiązania
i/lub
b) podać prawidłową odpowiedź
i/lub
c) pokazać jakiś analogiczny przykład, który mnie nakieruje, jak to trzeba zrobić?
Czy będziesz łaskaw:
a) nakierować mnie na sposób rozwiązania
i/lub
b) podać prawidłową odpowiedź
i/lub
c) pokazać jakiś analogiczny przykład, który mnie nakieruje, jak to trzeba zrobić?
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
Re: Przestrzeń styczna
Opcja (c) jest pewnie najbardziej sensowna. Poszukałbym w dostępnych zbiorach zadań, starych egzaminach (nie tylko z Twojej uczelni) etc., ale samemu nie mam nic pod ręką, więc nic nie podsunę. Podobne zadania (czyli zadania typu "sprawdź czy coś jest rozmaitością") zazwyczaj wymagają zastosowania twierdzenia o funkcji uwikłanej; ten konkretny przypadek jest akurat prostszy.
Nie jest trudno zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem pewnej funkcji \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\). Mianowicie drugie równanie pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ z}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\), a pierwsze pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ t}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y,z}\), a więc (korzystając z drugiego równania) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\). Efektem jest
\(\displaystyle{ z = \ln(2x+y)}\), \(\displaystyle{ t = x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2}\),
czyli innymi słowy, że \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = (\ln(2x+y), x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2)}\).
W interesującym nas obszarze jest to funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\), co uzasadnia, że M jest (pod)rozmaitością klasy \(\displaystyle{ C^1}\).
Wzór na przestrzeń styczną do wykresu funkcji pewnie gdzieś w notatkach masz? Wyznacza się go na podstawie pochodnych funkcji \(\displaystyle{ f}\). Pierwsza i druga współrzędna funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zadana z góry (po prostu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), czwartą chyba wyznaczyłeś, brakuje jeszcze trzeciej.
Nie jest trudno zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem pewnej funkcji \(\displaystyle{ f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2}\). Mianowicie drugie równanie pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ z}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\), a pierwsze pozwala wyliczyć \(\displaystyle{ t}\) na podstawie \(\displaystyle{ x,y,z}\), a więc (korzystając z drugiego równania) na podstawie \(\displaystyle{ x,y}\). Efektem jest
\(\displaystyle{ z = \ln(2x+y)}\), \(\displaystyle{ t = x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2}\),
czyli innymi słowy, że \(\displaystyle{ M}\) jest wykresem funkcji
\(\displaystyle{ f(x,y) = (\ln(2x+y), x^2+y^2-(\ln(2x+y))^2)}\).
W interesującym nas obszarze jest to funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\), co uzasadnia, że M jest (pod)rozmaitością klasy \(\displaystyle{ C^1}\).
Wzór na przestrzeń styczną do wykresu funkcji pewnie gdzieś w notatkach masz? Wyznacza się go na podstawie pochodnych funkcji \(\displaystyle{ f}\). Pierwsza i druga współrzędna funkcji \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zadana z góry (po prostu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), czwartą chyba wyznaczyłeś, brakuje jeszcze trzeciej.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 20 cze 2022, o 17:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 24
- Podziękował: 4 razy
Re: Przestrzeń styczna
Odgrzewam wątek.
Nie mam wzoru na przestrzeń styczną, nigdy nie robiłem takich zadań, nie mam żadnych przykładów podobnych do tego i dlatego szukam pomocy tutaj.
Dziękuję za wskazówki, spostrzeżenie, że jest to wykres funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest dla mnie cenne.
Natomiast końcówka nie jest dla mnie jasna, W końcu przypadku funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) nie mówimy o jednej pierwszej pochodnej, tylko o całej macierzy pochodnych (macierzy Jacobiego). Mimo wszystko spróbuję.
Rozumiem, że to, co wkleiłem w pierwszym wpisie, ma sens. Zrobię więc coś podobnego dla zmiennej \(\displaystyle{ z}\).
Co teraz?
Nie mam wzoru na przestrzeń styczną, nigdy nie robiłem takich zadań, nie mam żadnych przykładów podobnych do tego i dlatego szukam pomocy tutaj.
Dziękuję za wskazówki, spostrzeżenie, że jest to wykres funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) jest dla mnie cenne.
Natomiast końcówka nie jest dla mnie jasna, W końcu przypadku funkcji z \(\displaystyle{ \RR^2}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\) nie mówimy o jednej pierwszej pochodnej, tylko o całej macierzy pochodnych (macierzy Jacobiego). Mimo wszystko spróbuję.
Rozumiem, że to, co wkleiłem w pierwszym wpisie, ma sens. Zrobię więc coś podobnego dla zmiennej \(\displaystyle{ z}\).
Co teraz?
- Załączniki
-
- 09juy.png (7.43 KiB) Przejrzano 326 razy
Ostatnio zmieniony 24 lut 2023, o 11:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.