najmniejsza wartość funkcji

[jawor]

Punkt P_1 o dodatnich współżędnych (x,y) leży na hiperboli , opisanej równaniem y=1/x. Punkt p_2 jest obrazem punktu P_1 w symetri środkowej względem punktu (0,0). Funkcja D(x) określa kwadrat odległości punktów P_1i P_2. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji D(x). Odpowiedz uzasadnij.

[bisz]

funkcja y=1/x jest nieparzysta wiec punkt 0,0 jest punktem symetrii zatem rozpatrzmy połowę tej odleglosci czyli od punktu 0,0 do jakiegos punktu na tej hiperboli
robimi twirdzenie pitagorasa :
\(\displaystyle{ 2\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}\)
2 dlatego bo odcinek w rzeczywistosci jet 2x dluzszy niz od punktu 0,0 do wybranego punktu hiperboli
powyzsza postac bierzemy do kwadratu, robimy pochodną i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f'(x)=8x-\frac{4}{x^{2}}}\)
ktorej miejscem zerowym jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sqrt[3]{4}}\)
byłbym wdzięczny gdyby ktoś to sprawdził bo cos mi sie wierzyc nie chce ;]

[Joan]

Błąd w pochodnej.

[bisz]

hm, przeanalizujmy to, odleglosc od punktu 0,0 do dowolnego na prostej to :
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}\)
wiec odleglosc punktu z wykresu jednej i drugiej cwiartki to 2 razy tyle czyli
\(\displaystyle{ 2\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}}\)
a podnosząc to do kwadratu otrzymujemy
\(\displaystyle{ 4x^{2}+\frac{4}{x^{2}}}\)
a pochodna tego daje nam
\(\displaystyle{ 8x-\frac{8}{x^{3}}}\)
a jej rzeczywiste rozwiazanie tzn miejsce zerowe to...
x = 1
x = -1
racja ;] dzieki za poprawke