Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli

[gazelka15]

Witam,
Przy przygotowywaniu się do kolokwium z analizy matematycznej natrafiłam na poniższe zadanie. Niestety nie mam pojęcia nawet jak zacząć...

Rozważamy wszystkie punkty paraboli \(\displaystyle{ y=-x^{2}+5x-4 }\) o obu współrzędnych dodatnich. Wyznacz ten z punktów, dla którego iloraz jego pierwszej współrzędnej przez drugą jest najmniejszy z możliwych.

Bardzo proszę o pomoc

[janusz47]

Fragment wykresu funkcji:

\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x +4 }\)

Funkcja ilorazu pierwszej współrzędnej przez drugą:

\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{y} = \ \ ... }\)

\(\displaystyle{ Q(x) \rightarrow min. }\)

dla

\(\displaystyle{ y>0, \ \ x\in ( ... ). }\)

[gazelka15]

Nadal nie wiem o co chodzi.

[janusz47]

\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{y} = \frac{x}{-x^2 +5x +4} }\)

\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x + 4 >0 \rightarrow x\in (0, 4). }\)

Proszę znależć minimum funkcji \(\displaystyle{ Q(x). }\)

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ x^{*} = 1, \ \ y^{*} = y(1) = 8. }\)

\(\displaystyle{ Q_{min} = \frac{1}{8}.}\)

[gazelka15]

Policzyłam, ale wyszło mi trochę inaczej.

\(\displaystyle{ x \in (1;4)}\)

A odpowiedź: \(\displaystyle{ x=2, y=2}\)

\(\displaystyle{ Q _{min}= \frac{2}{2}=1 }\)


Edit. Już wiem skąd rozbieżność. Pan przeliczył \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x+4,}\) a ma być \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x-4 }\). W każdym razie wiem już o co chodzi i dziękuję bardzo za pomoc.

[janusz47]

Sprawdzamy

\(\displaystyle{ Q'(x) = \left(\frac{x}{-x^2+5x -4}\right)' = \frac{1(-x^2+5x+4)-x(-2x+5)}{(-x^2+5x-4)^2} = \frac{-x^2+5x-4+2x^2-5x}{(-x^2+5x-4)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{x^2-4}{(-x^2+5x-4)^2}.}\)

Tak ja pomyliłem się jak zwykle.

[Dasio11]

Można też zauważyć, że minimalizowanie wartości \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) jest równoważne maksymalizowaniu \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = -x+5-\frac{4}{x}}\), co prowadzi do deliktanie prostszych rachunków.