Witam,
Przy przygotowywaniu się do kolokwium z analizy matematycznej natrafiłam na poniższe zadanie. Niestety nie mam pojęcia nawet jak zacząć...
Rozważamy wszystkie punkty paraboli \(\displaystyle{ y=-x^{2}+5x-4 }\) o obu współrzędnych dodatnich. Wyznacz ten z punktów, dla którego iloraz jego pierwszej współrzędnej przez drugą jest najmniejszy z możliwych.
Bardzo proszę o pomoc
Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
Fragment wykresu funkcji:
\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x +4 }\)
Funkcja ilorazu pierwszej współrzędnej przez drugą:
\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{y} = \ \ ... }\)
\(\displaystyle{ Q(x) \rightarrow min. }\)
dla
\(\displaystyle{ y>0, \ \ x\in ( ... ). }\)
\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x +4 }\)
Funkcja ilorazu pierwszej współrzędnej przez drugą:
\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{y} = \ \ ... }\)
\(\displaystyle{ Q(x) \rightarrow min. }\)
dla
\(\displaystyle{ y>0, \ \ x\in ( ... ). }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
\(\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{y} = \frac{x}{-x^2 +5x +4} }\)
\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x + 4 >0 \rightarrow x\in (0, 4). }\)
Proszę znależć minimum funkcji \(\displaystyle{ Q(x). }\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ x^{*} = 1, \ \ y^{*} = y(1) = 8. }\)
\(\displaystyle{ Q_{min} = \frac{1}{8}.}\)
\(\displaystyle{ y = -x^2 +5x + 4 >0 \rightarrow x\in (0, 4). }\)
Proszę znależć minimum funkcji \(\displaystyle{ Q(x). }\)
Odpowiedź:
\(\displaystyle{ x^{*} = 1, \ \ y^{*} = y(1) = 8. }\)
\(\displaystyle{ Q_{min} = \frac{1}{8}.}\)
Re: Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
Policzyłam, ale wyszło mi trochę inaczej.
\(\displaystyle{ x \in (1;4)}\)
A odpowiedź: \(\displaystyle{ x=2, y=2}\)
\(\displaystyle{ Q _{min}= \frac{2}{2}=1 }\)
Edit. Już wiem skąd rozbieżność. Pan przeliczył \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x+4,}\) a ma być \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x-4 }\). W każdym razie wiem już o co chodzi i dziękuję bardzo za pomoc.
\(\displaystyle{ x \in (1;4)}\)
A odpowiedź: \(\displaystyle{ x=2, y=2}\)
\(\displaystyle{ Q _{min}= \frac{2}{2}=1 }\)
Edit. Już wiem skąd rozbieżność. Pan przeliczył \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x+4,}\) a ma być \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+5x-4 }\). W każdym razie wiem już o co chodzi i dziękuję bardzo za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
Sprawdzamy
\(\displaystyle{ Q'(x) = \left(\frac{x}{-x^2+5x -4}\right)' = \frac{1(-x^2+5x+4)-x(-2x+5)}{(-x^2+5x-4)^2} = \frac{-x^2+5x-4+2x^2-5x}{(-x^2+5x-4)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{x^2-4}{(-x^2+5x-4)^2}.}\)
Tak ja pomyliłem się jak zwykle.
\(\displaystyle{ Q'(x) = \left(\frac{x}{-x^2+5x -4}\right)' = \frac{1(-x^2+5x+4)-x(-2x+5)}{(-x^2+5x-4)^2} = \frac{-x^2+5x-4+2x^2-5x}{(-x^2+5x-4)^2} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{x^2-4}{(-x^2+5x-4)^2}.}\)
Tak ja pomyliłem się jak zwykle.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Pochodne, a wyznaczanie punktu paraboli
Można też zauważyć, że minimalizowanie wartości \(\displaystyle{ \frac{x}{y}}\) jest równoważne maksymalizowaniu \(\displaystyle{ \frac{y}{x} = -x+5-\frac{4}{x}}\), co prowadzi do deliktanie prostszych rachunków.