Istnienie rozwiązania równania

[Manteufel]

Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozwiązanie poniższego zadania jest poprawne i ewentualnie podpowiedzieć jakiś bardziej optymalny bądź lepszy sposób rozwiązania?

Czy istnieje rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x \arcctg x=1 }\) ?

Rozwiązanie:

Niech \(\displaystyle{ f(x)=x \arcctg x-1}\), z reguły de l’Hospitala mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}x \arcctg x=\lim_{x\to +\infty} \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} } =\left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{ x^{2} }{ x^{2}+1 } =1 }\), wiec \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\)

Zbadamy teraz pochodna \(\displaystyle{ f}\).

\(\displaystyle{ f'(x)=\arcctg x - \frac{x}{1+ x^{2} } }\),
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2}) }{1+ x^{2} } }\),
Zatem \(\displaystyle{ f'}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (-\infty,- \sqrt{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ ( \sqrt{2},+\infty )}\), malejąca w \(\displaystyle{ (- \sqrt{2}, \sqrt{2} )}\), znak \(\displaystyle{ f''}\) z \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\) zmienia się jedynie w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\), stąd \(\displaystyle{ f'}\) w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) ma minimum. Ponadto \(\displaystyle{ f'( \sqrt{2} )=\arcctg \sqrt{2}- \frac{ \sqrt{2} }{3} >\arcctg \sqrt{3}- \frac{ \sqrt{2} }{3}= \frac{ \pi }{6} - \frac{ \sqrt{2} }{3}>0 }\), zatem dla \(\displaystyle{ x \in \RR
}\), \(\displaystyle{ f'(x)>0}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca.

Teraz, jeśli istnieje \(\displaystyle{ x_{0} \in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to stąd, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, dla \(\displaystyle{ x>x_{0}+1 }\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) bedzie ograniczona od dołu przez \(\displaystyle{ f(x_{0}+1)>0}\). To daje nam sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\), stąd równanie nie ma rozwiązań.

[janusz47]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} }\)

[Manteufel]

Chodzi o ta pochodną w granicy policzonej przez regułę de l’Hospitala? Tam powinno być: \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} } =\left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{(\arcctg x)'}{( \frac{1}{x} )'}=\lim_{x\to +\infty} \frac{- \frac{1}{1+ x^{2} } }{ -\frac{1}{x ^{2} } }= \lim_{x\to +\infty} \frac{ x^{2} }{x ^{2}+ 1}=1 }\)

[MrCommando]

Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.

[Manteufel]

Dziękuje, rzeczywiście dużo łatwiej wszystko się wtedy liczy. A czy poza tym moje rozwiązanie jest poprawne? Nie bardzo mam wprawę w tym, jak wszystko ściśle udowadniać w tego typu zadaniach.

[pesel]

Myślę, że znacznie optymalniej...

Wiem, że to kwestia trochę obok tego wątku, ale czy takie stwierdzenie ma sens?

[a4karo]

Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.

Ale zamiast tego trzeba zrobić coś innego. Pomyśl co.

[MrCommando]

Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.

Ale zamiast tego trzeba zrobić coś innego. Pomyśl co.

To co napisałem miało być jedynie zarysem jak można spojrzeć na to inaczej. Dopracowanie szczegółów zostawiam autorowi wątku (tak czy siak, jak dla mnie omijamy sporo obliczeń).

[Manteufel]

Z dodatniości pochodnej \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x^{2} }- \frac{1}{x ^{2} +1} }\) wiemy, że \(\displaystyle{ f}\) rośnie na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}\arcctg x- \frac{1}{x}=0 }\), wiec analogicznie jak poprzednio dla \(\displaystyle{ x>0}\), \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\).
Natomiast dla przypadku gdy, \(\displaystyle{ x<0}\) mamy oczywiście to, że \(\displaystyle{ f}\) rośnie na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\), ale dodatkowo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\arcctg x- \frac{1}{x}= \pi }\) i stąd mamy ograniczoność funkcji od do dołu przez \(\displaystyle{ \pi }\) (z lewej strony od zera), więc też niezerowanie się \(\displaystyle{ f}\). Czy o to chodzi?

[a4karo]

Tak