Istnienie rozwiązania równania
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 paź 2020, o 13:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 14
- Podziękował: 2 razy
Istnienie rozwiązania równania
Czy mógłby ktoś sprawdzić, czy moje rozwiązanie poniższego zadania jest poprawne i ewentualnie podpowiedzieć jakiś bardziej optymalny bądź lepszy sposób rozwiązania?
Czy istnieje rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x \arcctg x=1 }\) ?
Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=x \arcctg x-1}\), z reguły de l’Hospitala mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}x \arcctg x=\lim_{x\to +\infty} \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} } =\left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{ x^{2} }{ x^{2}+1 } =1 }\), wiec \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\)
Zbadamy teraz pochodna \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ f'(x)=\arcctg x - \frac{x}{1+ x^{2} } }\),
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2}) }{1+ x^{2} } }\),
Zatem \(\displaystyle{ f'}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (-\infty,- \sqrt{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ ( \sqrt{2},+\infty )}\), malejąca w \(\displaystyle{ (- \sqrt{2}, \sqrt{2} )}\), znak \(\displaystyle{ f''}\) z \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\) zmienia się jedynie w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\), stąd \(\displaystyle{ f'}\) w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) ma minimum. Ponadto \(\displaystyle{ f'( \sqrt{2} )=\arcctg \sqrt{2}- \frac{ \sqrt{2} }{3} >\arcctg \sqrt{3}- \frac{ \sqrt{2} }{3}= \frac{ \pi }{6} - \frac{ \sqrt{2} }{3}>0 }\), zatem dla \(\displaystyle{ x \in \RR
}\), \(\displaystyle{ f'(x)>0}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca.
Teraz, jeśli istnieje \(\displaystyle{ x_{0} \in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to stąd, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, dla \(\displaystyle{ x>x_{0}+1 }\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) bedzie ograniczona od dołu przez \(\displaystyle{ f(x_{0}+1)>0}\). To daje nam sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\), stąd równanie nie ma rozwiązań.
Czy istnieje rozwiązanie równania \(\displaystyle{ x \arcctg x=1 }\) ?
Rozwiązanie:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=x \arcctg x-1}\), z reguły de l’Hospitala mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}x \arcctg x=\lim_{x\to +\infty} \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} } =\left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{ x^{2} }{ x^{2}+1 } =1 }\), wiec \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\)
Zbadamy teraz pochodna \(\displaystyle{ f}\).
\(\displaystyle{ f'(x)=\arcctg x - \frac{x}{1+ x^{2} } }\),
\(\displaystyle{ f''(x)= \frac{(x- \sqrt{2})(x+ \sqrt{2}) }{1+ x^{2} } }\),
Zatem \(\displaystyle{ f'}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (-\infty,- \sqrt{2} )}\) oraz \(\displaystyle{ ( \sqrt{2},+\infty )}\), malejąca w \(\displaystyle{ (- \sqrt{2}, \sqrt{2} )}\), znak \(\displaystyle{ f''}\) z \(\displaystyle{ -}\) na \(\displaystyle{ +}\) zmienia się jedynie w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\), stąd \(\displaystyle{ f'}\) w \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) ma minimum. Ponadto \(\displaystyle{ f'( \sqrt{2} )=\arcctg \sqrt{2}- \frac{ \sqrt{2} }{3} >\arcctg \sqrt{3}- \frac{ \sqrt{2} }{3}= \frac{ \pi }{6} - \frac{ \sqrt{2} }{3}>0 }\), zatem dla \(\displaystyle{ x \in \RR
}\), \(\displaystyle{ f'(x)>0}\), wiec \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca.
Teraz, jeśli istnieje \(\displaystyle{ x_{0} \in \RR}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), to stąd, że \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca, dla \(\displaystyle{ x>x_{0}+1 }\) funkcja \(\displaystyle{ f}\) bedzie ograniczona od dołu przez \(\displaystyle{ f(x_{0}+1)>0}\). To daje nam sprzeczność z tym, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to +\infty}f(x)=0}\), stąd równanie nie ma rozwiązań.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 paź 2020, o 13:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 14
- Podziękował: 2 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Chodzi o ta pochodną w granicy policzonej przez regułę de l’Hospitala? Tam powinno być: \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} \frac{\arcctg x}{ \frac{1}{x} } =\left[ \frac{0}{0} \right] \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} \frac{(\arcctg x)'}{( \frac{1}{x} )'}=\lim_{x\to +\infty} \frac{- \frac{1}{1+ x^{2} } }{ -\frac{1}{x ^{2} } }= \lim_{x\to +\infty} \frac{ x^{2} }{x ^{2}+ 1}=1 }\)
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 paź 2020, o 13:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 14
- Podziękował: 2 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Dziękuje, rzeczywiście dużo łatwiej wszystko się wtedy liczy. A czy poza tym moje rozwiązanie jest poprawne? Nie bardzo mam wprawę w tym, jak wszystko ściśle udowadniać w tego typu zadaniach.
-
- Użytkownik
- Posty: 1707
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Wiem, że to kwestia trochę obok tego wątku, ale czy takie stwierdzenie ma sens?
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Ale zamiast tego trzeba zrobić coś innego. Pomyśl co.MrCommando pisze: ↑20 mar 2022, o 21:59 Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
To co napisałem miało być jedynie zarysem jak można spojrzeć na to inaczej. Dopracowanie szczegółów zostawiam autorowi wątku (tak czy siak, jak dla mnie omijamy sporo obliczeń).a4karo pisze: ↑21 mar 2022, o 05:58Ale zamiast tego trzeba zrobić coś innego. Pomyśl co.MrCommando pisze: ↑20 mar 2022, o 21:59 Myślę, że znacznie optymalniej jest rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=\arcctg x -\frac{1}{x}}\) (zauważając wcześniej, że oczywiście \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest rozwiązaniem). Mniej będzie rachunków. Pochodna to \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}}\) i widać "gołym okiem", że to jest dodatnie - bez żadnej analizy drugiej pochodnej.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 1 paź 2020, o 13:18
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 14
- Podziękował: 2 razy
Re: Istnienie rozwiązania równania
Z dodatniości pochodnej \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{1}{ x^{2} }- \frac{1}{x ^{2} +1} }\) wiemy, że \(\displaystyle{ f}\) rośnie na \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}\arcctg x- \frac{1}{x}=0 }\), wiec analogicznie jak poprzednio dla \(\displaystyle{ x>0}\), \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\).
Natomiast dla przypadku gdy, \(\displaystyle{ x<0}\) mamy oczywiście to, że \(\displaystyle{ f}\) rośnie na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\), ale dodatkowo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\arcctg x- \frac{1}{x}= \pi }\) i stąd mamy ograniczoność funkcji od do dołu przez \(\displaystyle{ \pi }\) (z lewej strony od zera), więc też niezerowanie się \(\displaystyle{ f}\). Czy o to chodzi?
Natomiast dla przypadku gdy, \(\displaystyle{ x<0}\) mamy oczywiście to, że \(\displaystyle{ f}\) rośnie na \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\), ale dodatkowo sprawdzamy, że \(\displaystyle{ \lim_{ x\to-\infty }\arcctg x- \frac{1}{x}= \pi }\) i stąd mamy ograniczoność funkcji od do dołu przez \(\displaystyle{ \pi }\) (z lewej strony od zera), więc też niezerowanie się \(\displaystyle{ f}\). Czy o to chodzi?