Czy ta funkcja jest różniczkowalna w 0?

[0000]

Witam!
Czy jeśli wiemy o funkcji \(\displaystyle{ f}\), że jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna wokół punktu \(\displaystyle{ 0}\) oraz że dla \(\displaystyle{ x\rightarrow 0}\) nasza \(\displaystyle{ f(x) }\)również zbiega do \(\displaystyle{ 0}\), to czy możemy wywnioskować, że jest różniczkowalna w zerze, a co za tym idzie - ciągła w zerze i równa \(\displaystyle{ 0}\) w tym punkcie?
Z góry dziękuję za pomoc!

[Premislav]

Nie. Rozważmy funkcję
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 \text{ gdy } x\le 0\\ e^{-\frac{1}{x}} \text {gdy }x>0\end{cases}}\).
Wszędzie poza zerem jest ona nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a jednak nie jest różniczkowalna w zerze, bo
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{e^{-\frac{1}{h}}}{h}=+\infty}\).
Ten przykład łatwo poprawić (zmienić wartość w zerze) w taki sposób, żeby dostać funkcję nieskończenie wiele razy różniczkowalną wszędzie poza zerem, o granicy zero w zerze i nieciągłą w \(\displaystyle{ x_0=0}\).

Dodano po 22 minutach 48 sekundach:
Zły przykład, przepraszam! Ta granica tyle nie wynosi, my bad.

[0000]

Dziękuję za odpowiedź
W takim razie zastanawiam się, jak można by zrobić takie zadanie:
Mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\), która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 0}\). Wiemy, że dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^n} =0}\). Mamy na tej podstawie pokazać, że \(\displaystyle{ f^{(k)} (0)=0 }\) dla \(\displaystyle{ 0 \le k \le n}\).
Chciałabym to zrobić przez indukcję, tylko że w tym celu potrzebowałabym najpierw udowodnić, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\). Ale skoro tak nie musi być, to czy da się to zadanie w ogóle tak zrobić, tzn. przez indukcję?

[Premislav]

Jak wyżej pisałem, niestety zepsułem poprzedni kontrprzykład. Już lecę z dobrym przykładem (chyba się do końca nie obudziłem albo za mało matmy ostatnio u mnie w życiu), za karę napiszę dokładniej:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 \text{ gdy }x\le 0\\ \sin \sqrt{x} \text{ gdy }x>0\end{cases}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{h\to 0^+}\frac{\sin \sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}\cdot \frac{\sin \sqrt{h}}{\sqrt{h}}}\), drugi czynnik dąży do jedynki, a pierwszy do \(\displaystyle{ +\infty}\), stąd granica to \(\displaystyle{ +\infty}\), czyli funkcja jest nieróżniczkowalna w zerze.

[0000]

Zdarza się nawet najlepszym
Jeszcze raz dziękuję za pomoc!
Teraz widzę, że jednak \(\displaystyle{ x^n}\) w tym zadaniu jest istotne. Kombinowałam nieco z wyliczeniem pierwszej pochodnej w zerze z definicji (tj. z granicy), tylko że wtedy musiałabym z góry założyć, że \(\displaystyle{ f(0)}\) istnieje. Nie jestem pewna, czy mogę.

[a4karo]

Jeżeli zakładasz różniczkowalnosc w otoczeniu zera, to to implikuje różniczkowalnosc w zerze (otoczenie zera to zbiór otwarty zawierający zero). Przykład zerem nie spełnia tych wymagań

[Premislav]

Jak widać, nie wiem, co to otoczenie, nic dziwnego, skoro nikt mnie nie lubi.

Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0}\), to również dla \(\displaystyle{ 0\le k\le n}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^k}=0}\) (wystarczy odpowiednio rozpisać na iloczyn).
Ze wzoru Taylora (a tutaj to w zasadzie po prostu tw. Lagrange'a o wartości średniej) mamy \(\displaystyle{ f(x)=f(0)+xf'(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) to pewien punkt pomiędzy zerem a iksem.
Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x}\), jedziemy z iksem do zera i zauważamy, że gdyby \(\displaystyle{ f(0)\neq 0}\), to granica prawej strony nie istniałaby, a granica lewej byłaby równa zero, stąd \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Dalej
\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2}f''(c_1)}\) dla pewnego punktu \(\displaystyle{ c_1}\) między zerem a iksem, dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2}\) i chyba widać, jak to leci.

[0000]

Jeszcze raz dziękuję wszystkim za pomoc! Teraz już rozumiem

[a4karo]

Jak widać, nie wiem, co to otoczenie, nic dziwnego, skoro nikt mnie nie lubi.

Skoro \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^n}=0}\), to również dla \(\displaystyle{ 0\le k\le n}\) mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^k}=0}\) (wystarczy odpowiednio rozpisać na iloczyn).
Ze wzoru Taylora (a tutaj to w zasadzie po prostu tw. Lagrange'a o wartości średniej) mamy \(\displaystyle{ f(x)=f(0)+xf'(c)}\), gdzie \(\displaystyle{ c}\) to pewien punkt pomiędzy zerem a iksem.
Dzielimy stronami przez \(\displaystyle{ x}\), jedziemy z iksem do zera i zauważamy, że gdyby \(\displaystyle{ f(0)\neq 0}\), to granica prawej strony nie istniałaby, a granica lewej byłaby równa zero, stąd \(\displaystyle{ f(0)=0}\).
Dalej
\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2}f''(c_1)}\) dla pewnego punktu \(\displaystyle{ c_1}\) między zerem a iksem, dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2}\) i chyba widać, jak to leci.

Wróćmy jeszcze na chwilę do sformułowania zadania. Mam wrażenie, że autorowi chodzi o sytuację, gdy funkcja jest różniczkowalna poza zerem.
W takiej sytuacji nie możesz się powoływać na twierdzenie Lagrange'a, bo zakłada ono różniczkowalność wewnątrz przedziału `(0,x)` - to mamy, oraz ciągłość na `[0,x]` - a z tym jest kłopot. Funkcja
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2} & x\neq 0\\ 2022 & x=0\end{cases}}\)
jest kontrprzykładem.

Dodano po 1 minucie 11 sekundach:

Witam!
Czy jeśli wiemy o funkcji \(\displaystyle{ f}\), że jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna wokół punktu \(\displaystyle{ 0}\) oraz że dla \(\displaystyle{ x\rightarrow 0}\) nasza \(\displaystyle{ f(x) }\)również zbiega do \(\displaystyle{ 0}\), to czy możemy wywnioskować, że jest różniczkowalna w zerze, a co za tym idzie - ciągła w zerze i równa \(\displaystyle{ 0}\) w tym punkcie?
Z góry dziękuję za pomoc!

Jezeli "wokół punktu `0`" oznacza "w każdym punkcie poza zerem", to popatrz na funkcję `f(x)=|x|`

[Premislav]

Jeżeli autorowi chodziło o funkcję różniczkowalną poza zerem, to zadanie nie ma sensu i mój drugi kontrprzykład z tego wątku działa (choć nie jest najprostszym możliwym, niewątpliwie \(\displaystyle{ |x|}\) prościej wygląda). W pierwszym poście było sformułowanie wokół, które mi przywiodło na myśl różnicę (teoriomnogościową) zbioru otwartego zawierającego ten punkt i singletonu samego punktu (pewnie niesłusznie).

[a4karo]

Jeżeli autorowi chodziło o funkcję różniczkowalną poza zerem, to zadanie nie ma sensu i mój drugi kontrprzykład z tego wątku działa (choć nie jest najprostszym możliwym, niewątpliwie \(\displaystyle{ |x|}\) prościej wygląda). W pierwszym poście było sformułowanie wokół, które mi przywiodło na myśl różnicę (teoriomnogościową) zbioru otwartego zawierającego ten punkt i singletonu samego punktu (pewnie niesłusznie).

W wątku są dwa zadania, w obu są watpliwości co autor miał na myśli. Jeżeli ustalimy, że mówimy o tzw otoczeniu nakłutym (czyli \(\displaystyle{ U\setminus\{0\}}\), to pierwsze zadanie zadanie ma oczywiście sens, a odpowiedź jest negatywna.
W drugim w zerze może dziać sie cokolwiek: warunki zadania pozostają spełnione bez względu na to jaką wartość w zerze przyjmiemy. Natomiast jeżeli założymy, że `f(0)=0`, to nawet bez założenia o różniczkowalności da się wywnioskować, że istnieje w zerze pochodna dowolnego rzędu i wszystkie są zerowe.