Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
Mam zadanie z wyznaczania ekstrema lokalne funkcji lecz zatrzymuje sie na uproszczeniu wielomianu w pochodnej , jesli ktos ma chwile to prosze o pomoc w rozwiazaniu \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{7} x^{7} + \frac{2}{3} x ^{6} + x^{5} + \frac{1}{2} x ^{4}.}\)
Ostatnio zmieniony 25 lut 2022, o 00:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Pisz staranniej.
Powód: Pisz staranniej.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
Mamy
\(\displaystyle{ f'(x)=x^6+4x^5+5x^4+2x^3=x^3\left(x^3+4x^2+5x+2\right)}\).
Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wielomianu w nawiasie (możesz też po prostu podejrzewać, że jeśli wielomian jest stopnia większego niż \(\displaystyle{ 2}\) i jego rozkład nie sprowadza się np. do równania dwukwadratowego, to ma jakiś ładny pierwiastek, i zaaplikować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych). Skoro tak, to ten wielomian (z tw. Bezouta) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\) i proste porównanie współczynników prowadzi nas do
\(\displaystyle{ x^3\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2\right)}\), a z tym już sobie dalej poradzisz.
Oczywiście by orzec, czy coś jest ekstremum lokalnym, będzie Ci potrzebna druga pochodna lub analiza znaku pierwszej pochodnej (tu w sumie chyba lepiej to drugie, mniej liczenia wychodzi), ale raczej dasz sobie radę; gdybyś nie dał, to pisz.
\(\displaystyle{ f'(x)=x^6+4x^5+5x^4+2x^3=x^3\left(x^3+4x^2+5x+2\right)}\).
Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ -1}\) jest pierwiastkiem wielomianu w nawiasie (możesz też po prostu podejrzewać, że jeśli wielomian jest stopnia większego niż \(\displaystyle{ 2}\) i jego rozkład nie sprowadza się np. do równania dwukwadratowego, to ma jakiś ładny pierwiastek, i zaaplikować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych). Skoro tak, to ten wielomian (z tw. Bezouta) dzieli się przez \(\displaystyle{ x+1}\) i proste porównanie współczynników prowadzi nas do
\(\displaystyle{ x^3\left(x+1\right)\left(x^2+3x+2\right)}\), a z tym już sobie dalej poradzisz.
Oczywiście by orzec, czy coś jest ekstremum lokalnym, będzie Ci potrzebna druga pochodna lub analiza znaku pierwszej pochodnej (tu w sumie chyba lepiej to drugie, mniej liczenia wychodzi), ale raczej dasz sobie radę; gdybyś nie dał, to pisz.