Przebieg zmienności funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
MOw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2022, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47

Przebieg zmienności funkcji

Post autor: MOw »

Na kolokwium z analizy matematycznej dostałem zadania, z którymi w większości sobie poradziłem (pochodne i całki). Ale zatrzymałem się na jednym, z którym nie mogę sobie dać rady:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^{3}}{2(x-1)^{2}}}\)

a) oblicz granice na krańcach przedziałów określoności
b) wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne

Ad a)
Dziedzina funkcji \(\displaystyle{ D=\RR\setminus\{ 1\}, D=(-\infty,1) \cup (1,+\infty)}\)
Granice: lewstronna i prawostronna dla \(\displaystyle{ x = 1}\) są takie same:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} f(x)= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{+}} f(x)= \infty}\)

Ad b)
Nie mogę wyznaczyć przedziałów monotoniczności. Z kalkulatorów dostępnych w internecie wiem jak wygląda wykres funkcji. Gdy wyznaczam przedziały, w których funkcja jest rosnąca i malejąca, to wychodzą mi "rzeczy" inne niż te które są na wykresie funkcji.

Dla \(\displaystyle{ x = 3}\) istnieje ekstremum minimum. Wartość jaką ma w tym punkcie to \(\displaystyle{ f(3)= \frac {27}{8}}\)


Za ewentualną pomoc, właściwą odpowiedź bardzo dziękuję
Ostatnio zmieniony 17 lut 2022, o 23:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

MOw pisze: 17 lut 2022, o 22:57Ad a)
Dziedzina funkcji \(\displaystyle{ D=R\setminus\{ 1\}, D=(-\infty,1) \cup (1,+\infty)}\)
Granice: lewstronna i prawostronna dla \(\displaystyle{ x = 1}\) są takie same:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{-}} f(x)= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{+}} f(x)= \infty}\)
A gdzie granice w \(\displaystyle{ \pm \infty?}\)
MOw pisze: 17 lut 2022, o 22:57Ad b)
Nie mogę wyznaczyć przedziałów monotoniczności. Z kalkulatorów dostępnych w internecie wiem jak wygląda wykres funkcji. Gdy wyznaczam przedziały, w których funkcja jest rosnąca i malejąca, to wychodzą mi "rzeczy" inne niż te które są na wykresie funkcji.
To może pokaż, jak liczysz pochodną.

JK
MOw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2022, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: MOw »

Obliczam pochodną:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac {x^3}{2(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{(x^3)'(x-1)^2-(x^3)[(x-1)^2]'}{(x-1)^4}= \frac{1}{2} \cdot \frac {3x^2(x-1)^2-x^3[2(x-1)(x-1)']}{(x-1)^4}=\frac{1}{2} \cdot \frac {3x^2(x-1)^2-x^3[2(x-1)]}{(x-1)^4} =\\=\frac{1}{2} \cdot \frac {(x-1)[3x^2(x-1)-2x^3]}{(x-1)^4}= \frac {3x^3-3x^2-2x^3}{2(x-1)^3}=\frac {x^3-3x^2}{2(x-1)^3} = \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3} }\)
Ostatnio zmieniony 17 lut 2022, o 23:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Łam za długie linie. Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

No OK. I co dalej?

JK
MOw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2022, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: MOw »

Granice w \(\displaystyle{ +- \infty }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{2(x-1)^2}=\infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{2(x-1)^2}=-\infty}\)

Postaram sie napisać, do czego doszedłem jeśli chodzi o przedziały monotoniczności.
Wiem, że funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) jest rosąca, jeśli \(\displaystyle{ f'(x)>0}\)
natomiast funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest malejąca, jeśli \(\displaystyle{ f'(x)<0 }\)

Wyznaczam przedziały, w których funkcja jest rosnąca
\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)

\(\displaystyle{ \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3}>0}\)

\(\displaystyle{ x^2(x-3)>0}\)

\(\displaystyle{ x-3>0}\)

\(\displaystyle{ x>3}\)

Zatem funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in (3,+ \infty)}\). I dalej nie wiem już nic. Zgodnie z wykresem funkcji, funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\displaystyle{ x \in (- \infty, 1) \cup (3, + \infty)}\). A mi z obliczeń wychodzi zupełnie coś innego.
Ostatnio zmieniony 18 lut 2022, o 19:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

MOw pisze: 18 lut 2022, o 18:48 \(\displaystyle{ \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3}>0}\)

\(\displaystyle{ x^2(x-3)>0}\)
Teraz zastanów się, dlaczego to przejście jest niepoprawne.
MOw pisze: 18 lut 2022, o 18:48Zgodnie z wykresem funkcji, funkcja jest rosnąca w przedziałach \(\displaystyle{ x \in (- \infty, 1) \cup (3, + \infty)}\).
Nieprawda. Ta funkcja jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ (- \infty, 1)}\) oraz na przedziale \(\displaystyle{ (3, + \infty)}\), ale na pewno nie jest rosnąca na ich sumie.

JK
MOw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2022, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: MOw »

Nawet do głowy nie przyszła mi myśl, że ugrzęznę w nierównościach.
Wracając jednak do przedziałów monotoniczności:

\(\displaystyle{ f'(x)>0}\)

\(\displaystyle{ \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3}>0 }\)

\(\displaystyle{ \frac {x^3-3x^2}{2(x^3-3x^2+3x-1)}>0 }\)

\(\displaystyle{ \frac {x^3-3x^2}{2x^3-6x^2+6x-2}>0 \ || \ \cdot (2x^3-6x^2+6x-2) }\)

Znajduję, gdzie nierówność ma miejsca zerowe

\(\displaystyle{ x^3-3x^2=0 }\)

\(\displaystyle{ x^2(x-3)=0 }\)

\(\displaystyle{ x^2=0 \quad x-3=0 }\)

\(\displaystyle{ x=0 \quad x=3 }\)

Dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f(x)}\) to \(\displaystyle{ D=(-\infty,1) \cup (1,+\infty) }\)
Zatem funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,0) \cup (0,1), (3,+\infty) }\)

Wyznaczam przedziały, w których funkcja \(\displaystyle{ f(x) }\) jest malejąca:

\(\displaystyle{ f'(x)<0 }\)

Funkcja jest malejąca dla \(\displaystyle{ x \in (1,3) }\)
Ostatnio zmieniony 20 lut 2022, o 16:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: Jan Kraszewski »

MOw pisze: 20 lut 2022, o 16:40\(\displaystyle{ \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3}>0 }\)

\(\displaystyle{ \frac {x^3-3x^2}{2(x^3-3x^2+3x-1)}>0 }\)

\(\displaystyle{ \frac {x^3-3x^2}{2x^3-6x^2+6x-2}>0 \ || \ \cdot (2x^3-6x^2+6x-2) }\)
To jest zły pomysł. Nie masz pojęcia, jaki znak ma wyrażenie \(\displaystyle{ 2x^3-6x^2+6x-2}\) więc obustronne mnożenie nierówności przez to wyrażenie wymaga rozpatrywania przypadków, czego nie zrobiłeś. A dobry wynik jest zapewne efektem przypadku, a nie poprawnie przeprowadzonych rachunków. No i wymnażanie tych wyrażeń też jest bez sensu, bo potrzebujesz ich w postaci iloczynowej właśnie.

Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \frac {x^2(x-3)}{2(x-1)^3}>0\,\Bigg|\, \cdot 2(x-1)^4 }\)
(mnożę przez wyrażenie, które jest na pewno dodatnie)

\(\displaystyle{ x^2(x-3)(x-1)>0}\)

itd.
MOw pisze: 20 lut 2022, o 16:40 Zatem funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,0) \cup (0,1), (3,+\infty) }\)
Jak się chwilę zastanowisz, to jednak \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty,1), (3,+\infty) }\).

JK
MOw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 17 lut 2022, o 18:42
Płeć: Mężczyzna
wiek: 47

Re: Przebieg zmienności funkcji

Post autor: MOw »

Panie Janie, szacunek. Myślę, że jest Pan znakomitym nauczycielem. Posiadam książki z zadaniami z Politechniki wrocławskiej z analizy matematycznej i nie tylko, przerobiłem sporo zadań z przedziałów monotoniczności, mimo to wyłożyłem się na nierównościach.
Nie podaje Pan odpowiedzi od razu. Wymaga Pan myślenia i samodzielnego rozwiązywania zadania. Nawet teraz na "gorąco" zastanawiam się, dlaczego do potęgi czwartej. Raz jeszcze szacunek dla Pana i dziękuję.
ODPOWIEDZ