Wyznaczyć ekstremale funkcjonału

[math196]

$$J[y]= \int_{1}^{2} \frac{x^2}{y'^2} dx, y(1)=1, y(2)=4$$
Ma ktoś pomysł jak to rozwiązać ?

[Janusz Tracz]

Funkcja Lagrange’a to \(\displaystyle{ \mathscr{L}(y,y',x)=x^2/y'^2}\). Wstaw ją do równania Eulera-Lagrange’a i spróbuj je rozwiązać. To znaczy wstaw to do równania

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x }\left( \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} \right)-\frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y}=0 }\)

otrzymując równanie różniczkowe którego rozwiązaniem będzie ekstremala \(\displaystyle{ y}\).

PS Tu pewnie można się powołać na jakąś szczególną wersje równania Eulera-Lagrange’a z \(\displaystyle{ \mathscr{L}}\) niezależną od \(\displaystyle{ y}\). Ale nie pamiętam jak się nazywała ta szczególna wersja. Sprawozda się to do tego, że \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} = C}\) dla pewnego \(\displaystyle{ C}\). Ile to \(\displaystyle{ C}\) wynosi dowiesz się z warunków brzegowych.

[math196]

Funkcja Lagrange’a to \(\displaystyle{ \mathscr{L}(y,y',x)=x^2/y'^2}\). Wstaw ją do równania Eulera-Lagrange’a i spróbuj je rozwiązać. To znaczy wstaw to do równania

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x }\left( \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} \right)-\frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y}=0 }\)

otrzymując równanie różniczkowe którego rozwiązaniem będzie ekstremala \(\displaystyle{ y}\).

PS Tu pewnie można się powołać na jakąś szczególną wersje równania Eulera-Lagrange’a z \(\displaystyle{ \mathscr{L}}\) niezależną od \(\displaystyle{ y}\). Ale nie pamiętam jak się nazywała ta szczególna wersja. Sprawozda się to do tego, że \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} = C}\) dla pewnego \(\displaystyle{ C}\). Ile to \(\displaystyle{ C}\) wynosi dowiesz się z warunków brzegowych.

Nie wiem czy dobrze robię. Bo to równanie wychodzi mi coś takiego, jak policzyłem pochodne cząstkowe :
$$\frac{ \dd }{ \dd x }\left( \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'}\right)=\frac{ \dd }{ \dd x }\left(\frac{x}{y'}\right)$$
Nie wiem jak ruszyć z tym dalej.

[Janusz Tracz]

Pokaż jak policzyłeś \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'}}\)?

[math196]

Pokaż jak policzyłeś \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'}}\)?

A nie. To raczej ta pochodna powinna być tak policzona
$$\frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'}=\frac{x^2}{2y'}$$

Dodano po 1 godzinie 25 minutach 5 sekundach:

Pokaż jak policzyłeś \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'}}\)?

Mam teraz problem jak wyliczyć tego y ? No bo stałą to myślę, że nie będzie to problem już na samym końcu. Tylko jak dojść do tego y.

[Janusz Tracz]

Czy uważasz, że \(\displaystyle{ (f/g)'=f'/g'}\)? Liczysz tu pochodną tak jak jak liczy się pochodna funkcji \(\displaystyle{ [\,\xi\mapsto 1/\xi^2\,]}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} = \frac{ \partial}{ \partial y'} \left( \frac{x^2}{y'^2} \right)= -2 \frac{x^2}{y'^3} }\)

\(\displaystyle{ x}\) można traktować jak stałą bo to jest pochodna cząstkowa. Potem liczysz

\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x }\left( -2 \frac{x^2}{y'^3} \right) }\)

przy czym tu już trzeba uwzględnić fakt, że \(\displaystyle{ y'}\) jest funkcją zależna od \(\displaystyle{ x}\). Więc tu trzeba skorzystać z prawdziwego wzoru na \(\displaystyle{ (f/g)'}\). Lub jak się szczęśliwie okazuje (co jest możliwe, gdy Funkcja Lagrange’a \(\displaystyle{ \mathscr{L}}\) nie zależy od \(\displaystyle{ y}\)), że \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathscr{L}}{ \partial y'} = C}\) czyli \(\displaystyle{ -2 x^2/y'^3=C}\) lub po zamianie stałej na inną, że \(\displaystyle{ x^2/y'^3=C}\).

Mam teraz problem jak wyliczyć tego y ? No bo stałą to myślę, że nie będzie to problem już na samym końcu. Tylko jak dojść do tego y.

Nie do końca wiem o co Ci chodzi. Chcesz z równania którego nie rozpisałeś wyciągać \(\displaystyle{ y}\). "Wyciąganie" \(\displaystyle{ y}\) to tak naprawdę rozwiązywanie równania różniczkowego. I to równanie uzyskałem dopiero, gdy policzyłem czym są składniki w równaniu Eulera-Lagrange’a. Przekształcam to równanie do postaci ze zmiennymi rozdzielonymi i całkuję

\(\displaystyle{ \int_{}^{} y' \dd x = \int_{}^{} \sqrt[3]{ \frac{x^2}{C} } \dd x. }\)

Wyjdzie jakaś kolejna stała całkowania ale stałe są dwie i dwa warunki brzegowe więc powinna wyjść jedna ekstremala.

PS no offence ale polecam powtórzyć pochodne bo bez nich trudno całkować nie mówiąc o rozwiązywaniu równań różniczkowych ani tym bardziej szukaniu ekstremów funkcjonałów.