Pominę zbędne obliczenia i przejdę do konkretów, punkty podejrzane o ekstrema to:
\(\displaystyle{ P_{1}=(-3,6)}\)
\(\displaystyle{ P_{2}=(-1,2)}\)
W pierwszym sposobie skorzystałem ze wzoru:
\(\displaystyle{ - \frac{F_{xx}(P)}{F_{y}(P)} }\)
Wyszło mi, że dla \(\displaystyle{ P_{1}}\) funkcja osiąga maksimum lokalne, natomiast dla punktu \(\displaystyle{ P_{2}}\) funkcja osiąga minimum lokalne.
Natomiast rozwiązałem to zadanie, również bez użycia tego wzoru (ponieważ wcześniej go nie znałem) i wyniki nie chcą mi się pokryć, gdzie jest błąd w tym sposobie?:
\(\displaystyle{ y'(x)=- \frac{2x+y(x)}{x+2y(x)-6}= \frac{-2x-y(x)}{x+2y(x)-6} }\)
\(\displaystyle{ y''(x)= \frac{(-2-y'(x))(x+2y(x)-6)-(-2x-y(x))(1+2y'(x))}{(x+2y(x)-6)^{2}}}\)
Z warunków koniecznych istnienia ekstremum funkcji uwikłanej wynika, że dla punktów \(\displaystyle{ P_1,P_2}\)
\(\displaystyle{ y(x)=0 \wedge y'(x)=0}\) zatem podstawiając równanie punkt \(\displaystyle{ P_{1}=(-3,6)}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ y''(-3)= \frac{12}{81} }\) natomiast podstawiając punkt \(\displaystyle{ P_{2}=(-1,2)}\) otrzymuję:
\(\displaystyle{ y''(-1)= \frac{2}{3} }\)
W którym momencie jest luka w moim rozumowaniu? Z góry dziękuję za pomoc
Dodano po 3 godzinach 25 minutach 59 sekundach:
Poprawka: Ogarnąłem już samemu