zbiór wartości funkcji

[VanHezz]

Witam,

mam pewne zadanie. Mam wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x-4}{x ^{2}+9 } }\).

Rozwiązałem to zadanie w ten sposób, że stwierdziłem, iż funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych, więc brak jej asymptot pionowych.

Natomiast \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } f(x) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } f(x) = 0}\). Zatem zbiór wartości funkcji będzie wyznaczony przez ekstrema globalne tej funkcji.
I po obliczeniach \(\displaystyle{ f_{min}(-1)=-0,5}\) oraz \(\displaystyle{ f_{max}(9)= \frac{1}{18} }\)

\(\displaystyle{ ZW=\left\langle -0,5; \frac{1}{18} \right\rangle }\)

Czy to poprawne rozwiązanie?

[a4karo]

Tak, o ile poprawnie wyliczyłeś ekstrema

[Psiaczek]

Aby się o tym przekonać , proponuję klasyczną metodę rozwiązania takiego zadania, szkicowo bez komentarzy wygląda to tak:

\(\displaystyle{ \frac{x-4}{x^2+9} =y}\)

\(\displaystyle{ x-4=yx^2+9y}\)

\(\displaystyle{ yx^2-x+4+9y=0}\)

\(\displaystyle{ b^2-4ac \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 1-4y(4+9y) \ge 0}\)

\(\displaystyle{ -36y^2-16y+1 \ge 0}\)

\(\displaystyle{ B^2-4AC=256+144=400 , y_{1}= \frac{16-20}{-72}= \frac{1}{18} , y_{2}= \frac{16+20}{-72}= -\frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ y \in \left\langle-\frac{1}{2}; \frac{1}{18} \right\rangle }\)

więc może i dobrze policzył te ekstrema