Witam,
mam pewne zadanie. Mam wyznaczyć zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x-4}{x ^{2}+9 } }\).
Rozwiązałem to zadanie w ten sposób, że stwierdziłem, iż funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych, więc brak jej asymptot pionowych.
Natomiast \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty } f(x) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ x\to - \infty } f(x) = 0}\). Zatem zbiór wartości funkcji będzie wyznaczony przez ekstrema globalne tej funkcji.
I po obliczeniach \(\displaystyle{ f_{min}(-1)=-0,5}\) oraz \(\displaystyle{ f_{max}(9)= \frac{1}{18} }\)
\(\displaystyle{ ZW=\left\langle -0,5; \frac{1}{18} \right\rangle }\)
Czy to poprawne rozwiązanie?
zbiór wartości funkcji
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: zbiór wartości funkcji
Aby się o tym przekonać , proponuję klasyczną metodę rozwiązania takiego zadania, szkicowo bez komentarzy wygląda to tak:
\(\displaystyle{ \frac{x-4}{x^2+9} =y}\)
\(\displaystyle{ x-4=yx^2+9y}\)
\(\displaystyle{ yx^2-x+4+9y=0}\)
\(\displaystyle{ b^2-4ac \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 1-4y(4+9y) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -36y^2-16y+1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ B^2-4AC=256+144=400 , y_{1}= \frac{16-20}{-72}= \frac{1}{18} , y_{2}= \frac{16+20}{-72}= -\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ y \in \left\langle-\frac{1}{2}; \frac{1}{18} \right\rangle }\)
więc może i dobrze policzył te ekstrema
\(\displaystyle{ \frac{x-4}{x^2+9} =y}\)
\(\displaystyle{ x-4=yx^2+9y}\)
\(\displaystyle{ yx^2-x+4+9y=0}\)
\(\displaystyle{ b^2-4ac \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 1-4y(4+9y) \ge 0}\)
\(\displaystyle{ -36y^2-16y+1 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ B^2-4AC=256+144=400 , y_{1}= \frac{16-20}{-72}= \frac{1}{18} , y_{2}= \frac{16+20}{-72}= -\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ y \in \left\langle-\frac{1}{2}; \frac{1}{18} \right\rangle }\)
więc może i dobrze policzył te ekstrema