Hej, rozwiązałby mi ktoś chociaż jeden z tych przykładów, tak aby mogło mnie to naprowadzić na metodę rozwiązywania tego typu zadań? Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oblicz pochodną funkcji (należy pamiętać o przedziałach, w których funkcje są określone):
a) \(\displaystyle{ y = \arcsin x}\) , b) \(\displaystyle{ y = \arccos x}\) , c) \(\displaystyle{ y = \ctg x}\)
Pochodna funkcji odwrotnej
-
Paulina776
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 10 sty 2022, o 23:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
Pochodna funkcji odwrotnej
Ostatnio zmieniony 10 sty 2022, o 23:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Pochodna funkcji odwrotnej
Funkcja \(\displaystyle{ \arcsin }\) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus ograniczonej do przedziału \(\displaystyle{ \left[ -\frac{1}{2}\pi, \frac{1}{2}\pi \right]. }\)
Funkcja \(\displaystyle{ \arcsin }\) jest ciągła przekształca przedział \(\displaystyle{ [-1, 1] }\) na przedział \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{2}\pi, \frac{1}{2}\pi \right]. }\)
Na tym przedziale funkcja kosinus przyjmuje wartości nieujemne, tzn. jeśli \(\displaystyle{ x \in \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]}\) to \(\displaystyle{ \cos(x) = \sqrt{1 -\sin^2(x)}. }\)
Pochodna funkcji sinus jest różna od zera w \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) }\) więc funkcja \(\displaystyle{ \arcsin }\) jest różniczkowalna w punktach przedziału \(\displaystyle{ (-1, 1). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ 1 = x' = (\sin(\arcsin(x))' = \cos(\arcsin(x))\cdot (\arcsin(x))' = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin(x)} \cdot (\arcsin(x))' = \sqrt{1 -x^2} \cdot (\arcsin(x))'. }\)
\(\displaystyle{ (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2}} }\)
Proszę naszkicować wykres funkcji \(\displaystyle{ \arcsin(x) }\) i sprawdzić, że w punktach \(\displaystyle{ -1, 1, }\) należących do końców przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1] }\) czyli na krańcach dziedziny ma pochodną jednostronną i pochodna ta jest równa \(\displaystyle{ +\infty. }\)
Funkcja \(\displaystyle{ \arcsin }\) jest ciągła przekształca przedział \(\displaystyle{ [-1, 1] }\) na przedział \(\displaystyle{ \left[-\frac{1}{2}\pi, \frac{1}{2}\pi \right]. }\)
Na tym przedziale funkcja kosinus przyjmuje wartości nieujemne, tzn. jeśli \(\displaystyle{ x \in \left [ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right ]}\) to \(\displaystyle{ \cos(x) = \sqrt{1 -\sin^2(x)}. }\)
Pochodna funkcji sinus jest różna od zera w \(\displaystyle{ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) }\) więc funkcja \(\displaystyle{ \arcsin }\) jest różniczkowalna w punktach przedziału \(\displaystyle{ (-1, 1). }\)
Stąd
\(\displaystyle{ 1 = x' = (\sin(\arcsin(x))' = \cos(\arcsin(x))\cdot (\arcsin(x))' = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin(x)} \cdot (\arcsin(x))' = \sqrt{1 -x^2} \cdot (\arcsin(x))'. }\)
\(\displaystyle{ (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1 -x^2}} }\)
Proszę naszkicować wykres funkcji \(\displaystyle{ \arcsin(x) }\) i sprawdzić, że w punktach \(\displaystyle{ -1, 1, }\) należących do końców przedziału \(\displaystyle{ [-1, 1] }\) czyli na krańcach dziedziny ma pochodną jednostronną i pochodna ta jest równa \(\displaystyle{ +\infty. }\)