pochodna funkcji

[klimat]

Niech \(\displaystyle{ f(x) \in C^2([0,1]), f(0)=f(1)}\). Pokaż ze istnieje \(\displaystyle{ c \in (0,1)}\), takie że \(\displaystyle{ (c−1)^2f''(c)−f'(c)=0.}\)

[Dasio11]

Z twierdzenia Rolle'a istnieje \(\displaystyle{ a \in (0, 1)}\), takie że \(\displaystyle{ f'(a) = 0}\). Wynika stąd, że funkcja

\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} f'(x) \cdot \exp \frac{1}{x-1} & \text{dla } x \in [a, 1) \\ 0 & \text{dla } x = 1 \end{cases}}\)

również spełnia założenia twierdzenia Rolle'a. Można zatem znaleźć \(\displaystyle{ c \in (a, 1)}\) spełniające \(\displaystyle{ g'(c) = 0}\), czyli

\(\displaystyle{ 0 = g'(c) = f''(c) \cdot \exp \frac{1}{c-1} - f'(c) \cdot \frac{1}{(c-1)^2} \exp \frac{1}{c-1} = \frac{\exp \frac{1}{c-1}}{(c-1)^2} \cdot \big( (c-1)^2 f''(c) - f'(c) \big)}\)

co oczywiście oznacza, że \(\displaystyle{ (c-1)^2 f''(c) - f'(c) = 0}\).

[arek1357]

Miałem wątpliwości, ale zauważyłem , że wykładnik będzie ujemny a więc exp będzie mocno szybował do zera... bo z lewej strony...
Nawet warto o tym wspomnieć bo łatwo przeoczyć...