istnienie pochodnej w punkcie a ciągłość

[VanHezz]

Mam pytanie dotyczące konieczności badania ciągłości w punkcie, w którym chcę obliczyć pochodną.

Generalnie wiem, że ciągłość w punkcie jest warunkiem koniecznym do istnienia pochodnej w tym punkcie, ale nie jest wystarczająca, bo jeszcze podchodne lewo- i prawostronna w tym punkcie muszą takie same.

W podręczniku do liceum jest taki przykład:

Wyznaczmy pochodną funkcji

\(\displaystyle{ f(x) =}\) \(\displaystyle{ \begin{cases}-x ^{2}&\text{jeśli }x \in (- \infty , 0) \\ x ^{3}&\text{jeśli } x \in \langle0, + \infty ) \end{cases} }\)

Pochodna w przedziałach

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,0)}\) to \(\displaystyle{ (-x ^{2} )'=-2x}\)
\(\displaystyle{ x \in (0, + \infty )}\) to \(\displaystyle{ (x ^{3})'=3x ^{2} }\)

Natomiast jeśli chodzi o punktu \(\displaystyle{ 0}\), to autorzy podają dwa sposoby rozwiązań:

I sposób: Trzeba sprawdzić pochodne jednostronne funkcji w punkcie \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli będą takie same to znaczy, że pochodna ma pochodą w tym punkcie:

\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{+} } \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^{+} } \frac{h ^{3}-0 }{h} = \lim_{h \to 0^{+} }h ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{h \to 0^{-} }\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^{-} } \frac{-h ^{2}-0 }{h} = \lim_{h \to 0^{-} }(-h)=0}\)

Czyli pochodna w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) istnieje i jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

II sposób:
1. Najpierw trzeba zbadać, czy w funkcja jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ 0}\).

Wychodzi, że jest ciągła.

2. Trzeba sprawdzić, czy wzory obliczonych pochodnych \(\displaystyle{ (-x ^{2} )'=-2x}\) i \(\displaystyle{ (x ^{3})'=3x ^{2}}\) są "zgodne" w punkcie \(\displaystyle{ 0}\). W tym celu obliczamy granice:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } f'(x)= \lim_{x \to 0^{+} }(3x ^{2})=0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-} }(-2x) =0}\)

"Otrzymaliśmy granice skończone i równe sobie, ponadto funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła w punkcie \(\displaystyle{ 0}\), więc wspólna wartości obu granic jest wartością pochodnej funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ f'(0)=0}\)


Moje pytanie brzmi, dlaczego w pierwszym sposobie nie trzeba sprawdzać ciągłości w tym punkcie? Albo inaczej. Czym różni się obliczenie pochodnych jednostronnych w tym punkcie w pierwszym sposobie od obliczenia granic \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+} } f'(x)}\) i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{-} } f'(x)}\) w drugim sposobie?

[a4karo]

W przypadku braku ciągłości masz pewność, że przynajmniej jedna z granic nie istnieje lub jest nieskończona

[VanHezz]

Mówisz o granicy ilorazu róznicowego w pierwszym sposobie?

Ok, ale czym się różni obliczona granica w I sposobie i obliczone granice w II sposobie? To nie jest to samo?

[Dasio11]

Nie jest - żeby się o tym przekonać, wystarczy wykonać analogiczny rachunek dla funkcji

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{jeśli } x \in (-\infty, 0) \\ 1+x^3 & \text{jeśli } x \in \left< 0, \infty \right) \end{cases}}\)

[VanHezz]

No rzeczywiście. Już chyba rozumiem.

W tej funkcji co podał Dasio, pochodna lewostronna w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) odczytuje tę punktową anomalię i interpretuje jako nagły skok wartości, stąd ta pochodna lewostronna wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\) , bo w sumie ma prawo tak to odczytać skoro w ilorazie różnicowym brana jest różnica między wartością konkretnie w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) a wartością delikatnie z lewej od tego punktu.

A granica pochodnej dla \(\displaystyle{ x \rightarrow 0 ^{-}}\) jest \(\displaystyle{ 0}\), bo tu nie liczymy samej pochodnej tylko granicę już nowej funkcji powstałej jako pochodna tej funkcji z lewej.