Rodzina krzywych

[math196]

Wyznacz rodzinę krzywych ortogonalnych do podanej rodziny krzywych gdzie c- jest dowolną stałą:
$$x'=2e^{t}-x, x(0)=1$$
Nie ma pojęcia jak się za to zabrać. Ma ktoś może jakiś pomysł ?

[Janusz Tracz]

Po pierwsze \(\displaystyle{ c}\) nigdzie nie występuje więc to dziwnie wygląda (choć domyślam się o co chodzi). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ \Phi(t,x,x')=0}\) opisuje rodzinę krzywych to \(\displaystyle{ \Phi(t,x,-1/x')=0}\) opisuje rodzinę krzywych ortogonalnych (więc podstaw do równają różniczkowego \(\displaystyle{ -1/x'}\)). Obawiam się jednak, że trudno będzie to analitycznie rozwiązać.

[math196]

Po pierwsze \(\displaystyle{ c}\) nigdzie nie występuje więc to dziwnie wygląda (choć domyślam się o co chodzi). Poza tym jeśli \(\displaystyle{ \Phi(t,x,x')=0}\) opisuje rodzinę krzywych to \(\displaystyle{ \Phi(t,x,-1/x')=0}\) opisuje rodzinę krzywych ortogonalnych (więc podstaw do równają różniczkowego \(\displaystyle{ -1/x'}\)). Obawiam się jednak, że trudno będzie to analitycznie rozwiązać.

A nie można tego równania normalnie rozwiązać ? Ja zrobiłem to tak, że potraktowałem to jako równanie liniowe pierwszego rzędu i wyszło coś takiego na końcu:
$$x=e^t+ \frac{c}{e^t} $$
i po podstawieniu warunku początkowego wyszło
$$x=e^t$$
Czy to jest źle czy trzeba inaczej do tego podejść ?

[Janusz Tracz]

Ale celem tego zadanie nie jest rozwiązanie równania tylko znalezienie krzywych ortogonalnych. Poza tym jeśli już chcesz jakieś równanie rozwiązywać to powinno to być \(\displaystyle{ -1/x'+x=2e^t}\). A tego równania rozwiązać sensownie się nie da.

[math196]

Ale celem tego zadanie nie jest rozwiązanie równania tylko znalezienie krzywych ortogonalnych. Poza tym jeśli już chcesz jakieś równanie rozwiązywać to powinno to być \(\displaystyle{ -1/x'+x=2e^t}\). A tego równania rozwiązać sensownie się nie da.

Tak myślałem, że to złe podejście do tego. A jest jakiś inny sposób na wyznaczenie tych krzywych ?

[Janusz Tracz]

Nie ma innego sposobu bo, gdyby był to równanie \(\displaystyle{ -1/x'+x=2e^t }\) dało by się jakoś tam rozwiązać. Podejrzewam, że jest błąd w treści zadania lub źle je przepisałeś.

[math196]

Nie ma innego sposobu bo, gdyby był to równanie \(\displaystyle{ -1/x'+x=2e^t }\) dało by się jakoś tam rozwiązać. Podejrzewam, że jest błąd w treści zadania lub źle je przepisałeś.

Ja wprowadziłem w troszkę w błąd. Bo jednak treść zadania była zła. Nie chodzi o wyznaczenie krzywych ortogonalnych , tylko po prostu rozwiązać to równanie. I nie wiem czy to jak ja rozwiązałem tak jak napisałem będzie dobrze ? Bo tutaj jest wskazówka by skorzystać z twierdzenia Picarda, coś związane z ciągiem przybliżeń. Ale nie wiem jak do tego ogólnie podejść. Czy dało by się to zrobić tymi ciągami jakoś ?

[Janusz Tracz]

Jeśli masz wyznaczyć tylko rozwiązanie równania podanego w pierwszym poście to się da i już to zrobiłeś. Iteracje Picarda nie są tu potrzebne to jest zwykłe równanie liniowe. Gdy mówiłem o równaniu z którym byłby problem to miałem na myśli równanie rodziny krzywych ortogonalnych.