Transformata Laplace'a

[math196]

Wyznaczyć transformatę Laplace'a dla następującej funkcji :
$$f(t)=t(e^{-2t}+ \cos 2t)$$
Czy umiałby ktoś to rozwiązać ?

[Janusz Tracz]

Czy umiał by ktoś to rozwiązać ?

Myślę, że dałbym sobie radę.

[szw1710]

To się robi bezpośrednio z tabeli transformat podającej podstawowe wzory. Znajdź sobie.

[math196]

Czy umiał by ktoś to rozwiązać ?

Myślę, że dałbym sobie radę.

A czy mógłbyś trochę rozpisać ten przykład ?

[Janusz Tracz]

Zapisz proszę z definicji Transformaty Laplace'a co trzeba policzyć.

[math196]

Zapisz proszę z definicji Transformaty Laplace'a co trzeba policzyć.

$$ \int_{0}^{ \infty } e^{-st} t(e^{-2t}+\cos{ 2t})dt$$
Taką całkę trzeba policzyć tylko ?

[Janusz Tracz]

Dokładnie. To można dalej rozpisać:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}(f)(s)=\int_{0}^{ \infty } e^{-st} t(e^{-2t}+\cos{ 2t})\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t+ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\)

i całki te z osobna zacznijmy liczyć

• \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } t\, \dd \left( \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \right) = \left[ \frac{te^{-t(s+2)} }{-s-2} \right]\Bigg|_{t=0}^{t=\infty} - \int_{0}^{ \infty } \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \, \dd t= \frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty } e^{-t(s+2)} \, \dd t }\)

• Całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\) policzymy zakładając, że znamy jakąkolwiek funkcję pierwotną do \(\displaystyle{ \cos{(2t)} e^{-st}}\). Kandydatem na taką będzie którakolwiek z
  \(\displaystyle{ \int \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t}\)
  Tak więc taką całkę trzeba będzie jeszcze policzyć (ale to zrobisz przez części). Gdy będziesz miał taką funkcję pierwotną nazwijmy ją \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to zapisać będzie można
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right)}\)
  ponieważ nie jest to standardowe podejście większości uczelni to zapiszę nieformalnie choć wymownie, że
  
  \(\displaystyle{ \Phi_s(t) =\int \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t }\)
  i policzenie jawnej postaci \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to Twoje zadanie. A mając to wstawiasz do wzoru na całkowanie przez części
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right) = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } - \int_{0}^{ \infty } \frac{ \dd \Phi_s(t)}{ \dd t} \, \dd t = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } -\left[ \Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } }\)

PS można to też odczytać z tabelki ale policzenie nie jest wcale trudniejsze.

[math196]

Dokładnie. To można dalej rozpisać:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}(f)(s)=\int_{0}^{ \infty } e^{-st} t(e^{-2t}+\cos{ 2t})\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t+ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\)

i całki te z osobna zacznijmy liczyć

• \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } t\, \dd \left( \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \right) = \left[ \frac{te^{-t(s+2)} }{-s-2} \right]\Bigg|_{t=0}^{t=\infty} - \int_{0}^{ \infty } \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \, \dd t= \frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty } e^{-t(s+2)} \, \dd t }\)

• Całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\) policzymy zakładając, że znamy jakąkolwiek funkcję pierwotną do \(\displaystyle{ \cos{(2t)} e^{-st}}\). Kandydatem na taką będzie którakolwiek z
  \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t}\)
  Tak więc taką całkę trzeba będzie jeszcze policzyć (ale to zrobisz przez części). Gdy będziesz miał taką funkcję pierwotną nazwijmy ją \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to zapisać będzie można
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right)}\)
  ponieważ nie jest to standardowe podejście większości uczelni to zapiszę nieformalnie choć wymownie, że
  
  \(\displaystyle{ \Phi_s(t) =\int_{}^{} \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t }\)
  i policzenie jawnej postaci \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to Twoje zadanie. A mając to wstawiasz do wzoru na całkowanie przez części
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right) = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } - \int_{0}^{ \infty } \frac{ \dd \Phi_s(t)}{ \dd t} \, \dd t = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } -\left[ \Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } }\)

PS można to też odczytać z tabelki ale policzenie nie jest wcale trudniejsze.

Dzięki wielkie za pomoc. A tą całkę $$\frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty } e^{-t(s+2)} \, \dd t$$
trzeba jeszcze doliczyć do końca ?

[Janusz Tracz]

Tak całkę \(\displaystyle{ \frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty } e^{-t(s+2)} \, \dd t}\) jak najbardziej trzeba dokończyć. Można od razu napisać wynik ale jak tego nie widzisz to możesz zrobić podstawienie.

[math196]

Dokładnie. To można dalej rozpisać:

\(\displaystyle{ \mathscr{L}(f)(s)=\int_{0}^{ \infty } e^{-st} t(e^{-2t}+\cos{ 2t})\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t+ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\)

i całki te z osobna zacznijmy liczyć

• \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } te^{-t(s+2)}\, \dd t = \int_{0}^{ \infty } t\, \dd \left( \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \right) = \left[ \frac{te^{-t(s+2)} }{-s-2} \right]\Bigg|_{t=0}^{t=\infty} - \int_{0}^{ \infty } \frac{e^{-t(s+2)} }{-s-2} \, \dd t= \frac{1}{s+2} \int_{0}^{ \infty } e^{-t(s+2)} \, \dd t }\)

• Całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t }\) policzymy zakładając, że znamy jakąkolwiek funkcję pierwotną do \(\displaystyle{ \cos{(2t)} e^{-st}}\). Kandydatem na taką będzie którakolwiek z
  \(\displaystyle{ \int_{}^{} \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t}\)
  Tak więc taką całkę trzeba będzie jeszcze policzyć (ale to zrobisz przez części). Gdy będziesz miał taką funkcję pierwotną nazwijmy ją \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to zapisać będzie można
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right)}\)
  ponieważ nie jest to standardowe podejście większości uczelni to zapiszę nieformalnie choć wymownie, że
  
  \(\displaystyle{ \Phi_s(t) =\int_{}^{} \cos{(2t)} e^{-st}\, \dd t }\)
  i policzenie jawnej postaci \(\displaystyle{ \Phi_s}\) to Twoje zadanie. A mając to wstawiasz do wzoru na całkowanie przez części
  
  \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \int_{0}^{ \infty } t \, \dd \left( \Phi_s(t) \right) = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } - \int_{0}^{ \infty } \frac{ \dd \Phi_s(t)}{ \dd t} \, \dd t = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } -\left[ \Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } }\)

PS można to też odczytać z tabelki ale policzenie nie jest wcale trudniejsze.

Policzyłem tą drugą całkę
$$\int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st}=\left[ \frac{te^{-st}*\cdot \sin{2t}}{2} \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty }- \int_{0}^{ \infty }\frac{e^{-st} \cdot \sin{2t}}{2} $$
Czyli to pierwsze w tych granicach się wyzeruje jak się nie mylę i zostanie do policzenia ta ostania całka. To ile ona wyjdzie ostatecznie ?

[Janusz Tracz]

Nie wiem jak to policzyłeś i uważam, że masz tam błędy obliczeniowe. Moim zdaniem:

\(\displaystyle{ \Phi_s(t)= \frac{e^{-st} (-s\cos 2t +2\sin 2t) }{4+s^2} }\)

a potem to ja zrobiłem błąd pisząc

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } -\left[ \Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty }}\)

bo powinno być

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } - \int_{0}^{ \infty } \Phi_s(t) \, \dd t}\)

przy czym faktycznie \(\displaystyle{ \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } }\) powinno się zerować. Całkę z \(\displaystyle{ \Phi_s(t)}\) powinieneś umieć policzyć bo to jest wielokrotne całkowanie przez części.

[math196]

Nie wiem jak to policzyłeś i uważam, że masz tam błędy obliczeniowe. Moim zdaniem:

\(\displaystyle{ \Phi_s(t)= \frac{e^{-st} (-s\cos 2t +2\sin 2t) }{4+s^2} }\)

a potem to ja zrobiłem błąd pisząc

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t = \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } -\left[ \Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty }}\)

bo powinno być

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } t \cos{ (2t)} e^{-st} \, \dd t= \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } - \int_{0}^{ \infty } \Phi_s(t) \, \dd t}\)

przy czym faktycznie \(\displaystyle{ \left[ t\Phi_s(t) \right]\Big|_{t=0}^{t= \infty } }\) powinno się zerować. Całkę z \(\displaystyle{ \Phi_s(t)}\) powinieneś umieć policzyć bo to jest wielokrotne całkowanie przez części.

Dziękuje bardzo za pomoc