Pochodna wariancji z próby po wartości oczekiwanej z próby.

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Pochodna wariancji z próby po wartości oczekiwanej z próby.

Post autor: Matiks21 »

Hej,

mam problem z pochodną

\(\displaystyle{ \frac{\partial \sigma^2}{\partial \mu}}\)

gdzie \(\displaystyle{ N \cdot \sigma^2 = \sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^{N}(x_i)^2 - N \cdot \mu^2}\), \(\displaystyle{ N \cdot \mu = \sum_{i=1}^{N}x_i }\).

Czy wartości \(\displaystyle{ x_i }\) powinienem uważać za stałe względem \(\displaystyle{ \mu }\), niczym z nim nie związane?

Jeżeli tak to wychodzą mi dwa różne wyniki:
\(\displaystyle{ N \cdot \frac{\partial \sigma^2}{\partial \mu} = \frac{\partial\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2}{\partial \mu} = 2\cdot \sum_{i=1}^{N}(\mu - x_i) = 0}\)

\(\displaystyle{ N \cdot \frac{\partial \sigma^2}{\partial \mu} = \frac{\partial (\sum_{i=1}^{N}(x_i)^2 - N \cdot \mu^2)}{\partial \mu} = -2 \cdot N \cdot \mu}\)

Doszedłem do rozważań, nad tym jak przedstawia się \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x)}{\partial g(x)}}\) i czy wzór \(\displaystyle{ \frac{\partial f(x)}{\partial g(x)} = \frac{\frac{\partial f(x)}{\partial x}}{\frac{\partial g(x)}{\partial x}} }\) jest prawdziwy.


Proszę o naprowadzenie w tej materii i ogólnie o dyskusję.
Pozdrowienia
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Pochodna wariancji z próby po wartości oczekiwanej z próby.

Post autor: Premislav »

Matiks21 pisze:Czy wartości \(\displaystyle{ x_{i}}\)
powinienem uważać za stałe względem \(\displaystyle{ \mu}\), niczym z nim nie związane?
Zależy od kontekstu, a mianowicie od dokładnego znaczenia \(\displaystyle{ \mu}\). Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest średnią arytmetyczną z próby, to wręcz nie wolno tak robić (a Twoje pierwsze wyliczenie pochodnej cząstkowej po \(\displaystyle{ \mu}\), jak i późniejsze przekształcenie z \(\displaystyle{ \mu^2}\) coś takiego sugeruje), jeśli zaś kontekst jest taki, że mamy próbę z rozkładu o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\), no to jak najbardziej.
Matiks21
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 562
Rejestracja: 20 maja 2013, o 16:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 98 razy

Re: Pochodna wariancji z próby po wartości oczekiwanej z próby.

Post autor: Matiks21 »

Premislav pisze: 7 gru 2021, o 01:59
Matiks21 pisze:Czy wartości \(\displaystyle{ x_{i}}\)
powinienem uważać za stałe względem \(\displaystyle{ \mu}\), niczym z nim nie związane?
Zależy od kontekstu, a mianowicie od dokładnego znaczenia \(\displaystyle{ \mu}\). Jeśli \(\displaystyle{ \mu}\) jest średnią arytmetyczną z próby, to wręcz nie wolno tak robić (a Twoje pierwsze wyliczenie pochodnej cząstkowej po \(\displaystyle{ \mu}\), jak i późniejsze przekształcenie z \(\displaystyle{ \mu^2}\) coś takiego sugeruje), jeśli zaś kontekst jest taki, że mamy próbę z rozkładu o wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ \mu}\), no to jak najbardziej.
tak, \(\displaystyle{ \mu}\) zostało oznaczone jako średnia arytmetyczna z próby. Sugeruje to wprost oznaczenie w moim poście.

Jak należy w tym przypadku to liczyć?
ODPOWIEDZ