Wypukłość i wkłęsłość funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Znaleźć przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia dla:
\(\displaystyle{ f(x)=x\ln \frac{1}{x^2} }\)
No i mam tutaj problem, bowiem policzyłem pierwszą pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=\ln ( \frac{1}{x^2})-2 }\) i drugą pochodną równą \(\displaystyle{ f''(x)= -\frac{2}{x} }\). No i mam problem co z tym \(\displaystyle{ x=0}\). Ten punkt nie należy do dziedziny, więc czy może być tam punkt przegięcia? Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny. Bo w tym punkcie pozostałe warunki na punkt przegięcia są spełnione bowiem druga pochodna zmienia znak w tym punkcie. Więc jak to będzie, czy ta funkcja ma w \(\displaystyle{ x=0}\) punkt przegięcia?
\(\displaystyle{ f(x)=x\ln \frac{1}{x^2} }\)
No i mam tutaj problem, bowiem policzyłem pierwszą pochodną: \(\displaystyle{ f'(x)=\ln ( \frac{1}{x^2})-2 }\) i drugą pochodną równą \(\displaystyle{ f''(x)= -\frac{2}{x} }\). No i mam problem co z tym \(\displaystyle{ x=0}\). Ten punkt nie należy do dziedziny, więc czy może być tam punkt przegięcia? Nie mogę nigdzie w materiałach znaleźć informacji o tym, czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny. Bo w tym punkcie pozostałe warunki na punkt przegięcia są spełnione bowiem druga pochodna zmienia znak w tym punkcie. Więc jak to będzie, czy ta funkcja ma w \(\displaystyle{ x=0}\) punkt przegięcia?
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Popraw obliczenie pierwszej i drugiej pochodnej funkcji, pamiętając, że pochodna logarytmu naturalnego \(\displaystyle{ [\ln(f(x)]' = \frac{1} {f(x)}\cdot f'(x). }\)
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Słuszne pytanie ? Mnie się nie "chyba" lecz na pewno pokręciło. Pochodne obliczone są poprawnie!
\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 1\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) + x\cdot \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)x^{-3}= \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2\frac{x^3}{x^3} = \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2, }\)
\(\displaystyle{ f^{''}(x) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)\cdot x^{-3} = -2 \cdot \frac{x^2}{x^{3}} =-2\cdot \frac{1}{x}. }\)
Dodano po 15 minutach 20 sekundach:
Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f, \ \ f' \ \ f^{''} ? }\)
Jaki jest warunek konieczny istnienia punktu przegięcia ?
\(\displaystyle{ f(x) = x\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) }\)
\(\displaystyle{ f'(x) = 1\cdot \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) + x\cdot \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)x^{-3}= \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2\frac{x^3}{x^3} = \ln\left(\frac{1}{x^2}\right) -2, }\)
\(\displaystyle{ f^{''}(x) = \frac{1}{\frac{1}{x^2}} \cdot (-2)\cdot x^{-3} = -2 \cdot \frac{x^2}{x^{3}} =-2\cdot \frac{1}{x}. }\)
Dodano po 15 minutach 20 sekundach:
Jaka jest dziedzina funkcji \(\displaystyle{ f, \ \ f' \ \ f^{''} ? }\)
Jaki jest warunek konieczny istnienia punktu przegięcia ?
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
A jak masz zdefiniowany punkt przegięcia?
Ja uważam, że powinien punkt przegięcia należeć do wykresu, ale zawsze lepiej odnosić się do definicji, które miało się podane.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Dziękuję J. Kraszewski
Czyli według Ciebie punkt przegięcia powinien należeć do wykresu, czyli w tym przypadku w \(\displaystyle{ x=0}\) nie ma punktu przegięcia?
Czy mogą się jeszcze inne osoby wypowiedzieć na ten temat czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny funkcji?
Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).
Czy według tej definicji punkt przegięcia musi należeć do dziedziny?
Czyli według Ciebie punkt przegięcia powinien należeć do wykresu, czyli w tym przypadku w \(\displaystyle{ x=0}\) nie ma punktu przegięcia?
Czy mogą się jeszcze inne osoby wypowiedzieć na ten temat czy punkt przegięcia musi należeć do dziedziny funkcji?
Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).
Czy według tej definicji punkt przegięcia musi należeć do dziedziny?
-
- Administrator
- Posty: 34293
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Jak już cytujesz wiki, to zapomniałeś o kolejnym zdaniu:max123321 pisze: ↑2 gru 2021, o 15:48Niestety nie mam dostępu do definicji. Chcę to zrobić tak jak się najczęściej robi. Jeśli nie ma jasności co do tego to chyba przyjmę definicję z wikipedii:
Funkcja w \(\displaystyle{ x=x_0}\) ma punkt przegięcia wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ r \in \RR_+}\) dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\) lub odwrotnie: ściśle wypukła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0-r,x_0\right] }\) i ściśle wklęsła na przedziale \(\displaystyle{ \left[ x_0,x_0+r\right] }\).
Zwykle wymaga się dodatkowo ciągłości funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\). Niekiedy wymaga się też różniczkowalności w tym punkcie.
A to wymaga, by \(\displaystyle{ x_0}\) należało do dziedziny...
Obawiam się zatem, że nie masz szans na jednoznaczną odpowiedź.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wypukłość i wkłęsłość funkcji
Zakłada się , że jeśli funkcja jest ciągła w \(\displaystyle{ (a, b)}\) i co najmniej dwukrotnie różniczkowalna w \(\displaystyle{ (a, b) \setminus \{x_{0}\} }\)
to
(i)
jeżeli \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f, }\) to \(\displaystyle{ f''(x_{0}) = 0 }\) lub nie istnieje \(\displaystyle{ f''(x_{0}),}\)
(ii)
jeżeli \(\displaystyle{ f'' }\) zmienia znak przy przejściu przez \(\displaystyle{ x_{0}, }\)
to \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
to
(i)
jeżeli \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f, }\) to \(\displaystyle{ f''(x_{0}) = 0 }\) lub nie istnieje \(\displaystyle{ f''(x_{0}),}\)
(ii)
jeżeli \(\displaystyle{ f'' }\) zmienia znak przy przejściu przez \(\displaystyle{ x_{0}, }\)
to \(\displaystyle{ x_{0} }\) jest punktem przegięcia wykresu funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Ostatnio zmieniony 2 gru 2021, o 20:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.