pochodna z wykładnikiem

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 588
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

pochodna z wykładnikiem

Post autor: rObO87 »

\(\displaystyle{ (x-a)^{x+a}}\)
\(\displaystyle{ a \in \RR}\)
Jak obliczyć pochodną czegoś takiego?
Ostatnio zmieniony 1 gru 2021, o 12:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości i tematu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: pochodna z wykładnikiem

Post autor: Jan Kraszewski »

\(\displaystyle{ (x-a)^{x+a}=e^{(x+a)\ln(x-a)}}\)

JK
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 588
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Re: pochodna z wykładnikiem

Post autor: rObO87 »

Mam niby poprawną odpowiedź i jest to suma kilku logarytmów naturalnych.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: pochodna z wykładnikiem

Post autor: janusz47 »

Można też zastosować pochodną funkcji logarytmicznej (pochodną logarytmiczą).

\(\displaystyle{ f(x) = (x-a)^{x+a} }\)

\(\displaystyle{ \ln(f(x)) = (x+a)\ln(x-a) }\)

Obliczamy pochodną obu stron równania:

\(\displaystyle{ \frac{f'(x)}{f(x)} = [(x+a)\ln(x-a)]' }\)

\(\displaystyle{ f'(x) = f(x)\cdot [(x+a) \cdot \ln(x-a)]' = (x-a)^{x+a} \cdot \left[ (x+a)' \cdot \ln(x-a)+ (x+a)\cdot (\ln(x-a))' \right] = \ \ ...}\)

\(\displaystyle{ (x+a)' = \ \ ...? \ \ (\ln(x-a))' = \ \ ... ?}\)
ODPOWIEDZ