Równanie różniczkowe
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 27 razy
Równanie różniczkowe
Mam takie równanie Riccatiego :
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{2x})y +y^2$$
Całka szczególna to $$y_1=-e^{x}$$
Robię podstawienie do wzoru $$y=y_1+ \frac{1}{u} $$
Liczę pochodną $$y'=-e^{x}+ ( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx} $$
I podstawiam do wyjściowego równania
$$-e^{x}+( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx}=e^{2x} -e^x + \frac{1}{u} -2e^{3x} + \frac{2}{u} e^{2x} + \frac{1}{u^2} - \frac{2}{u} e^{x}+e^{2x}$$
Skróci się tylko $$-e^{x} $$ i tyle. Powinno się więcej skrócić, ale niestety nie widzę co tutaj jest nie tak. Jak to przekształcić by sprowadzić do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ?
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{2x})y +y^2$$
Całka szczególna to $$y_1=-e^{x}$$
Robię podstawienie do wzoru $$y=y_1+ \frac{1}{u} $$
Liczę pochodną $$y'=-e^{x}+ ( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx} $$
I podstawiam do wyjściowego równania
$$-e^{x}+( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx}=e^{2x} -e^x + \frac{1}{u} -2e^{3x} + \frac{2}{u} e^{2x} + \frac{1}{u^2} - \frac{2}{u} e^{x}+e^{2x}$$
Skróci się tylko $$-e^{x} $$ i tyle. Powinno się więcej skrócić, ale niestety nie widzę co tutaj jest nie tak. Jak to przekształcić by sprowadzić do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8567
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 27 razy
Re: Równanie różniczkowe
A tak rzeczywiście zabrakło mi minusa. Ale to dalej nic nie zmienia, bo dalej nie widzę co mogło by się skrócić.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8567
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Równanie różniczkowe
Łatwo sprawdzić że wskazana całka nie jest rozwiązaniem tego równania
Możliwe, iż miało być:
$$y'=e^{2x} +(1-2e^{2x})y +y^2$$
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 27 razy
Re: Równanie różniczkowe
Czyli wychodzi na to, że nie da się tego rozwiązać ? Chyba musiała by być tutaj inna dobrana ta całka szczególna. Tak mi się przynajmniej wydaje.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5683
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 523 razy
Re: Równanie różniczkowe
Ja nie mówię, że się nie da rozwiązać ale wychodzą rzeczy kosmiczne wrzuć jedno albo drugie na wolframa czy tam gdzie to powychodzą ci jakieś funkcje specjalne ale to nie jest jeszcze najgorsze tylko w zatrważającej ilości...
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8567
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Równanie różniczkowe
Zgadza się.
Jednak sugerowaną zmianą w równaniu miało być:
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2$$
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8567
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Równanie różniczkowe
Gdyby równaniem było:
\(\displaystyle{ y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2}\)
to \(\displaystyle{ y_1=-e^x}\) spełnia to równanie , a podstawienie \(\displaystyle{ y=-e^x+ \frac{1}{u} }\) daje:
\(\displaystyle{ \frac{-u'}{u^2} = \frac{1}{u}+ \frac{1}{u^2} }\)
A to jest równaniem liniowym:
\(\displaystyle{ u'+u=-1}\)
\(\displaystyle{ y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2}\)
to \(\displaystyle{ y_1=-e^x}\) spełnia to równanie , a podstawienie \(\displaystyle{ y=-e^x+ \frac{1}{u} }\) daje:
\(\displaystyle{ \frac{-u'}{u^2} = \frac{1}{u}+ \frac{1}{u^2} }\)
A to jest równaniem liniowym:
\(\displaystyle{ u'+u=-1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 27 razy
Re: Równanie różniczkowe
Faktycznie ta mała zmiana powoduje, że da się to rozwiązać dla tej całki szczególnej. Ma to sens. Dzięki za pomoc.kerajs pisze: ↑27 lis 2021, o 11:42 Gdyby równaniem było:
\(\displaystyle{ y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2}\)
to \(\displaystyle{ y_1=-e^x}\) spełnia to równanie , a podstawienie \(\displaystyle{ y=-e^x+ \frac{1}{u} }\) daje:
\(\displaystyle{ \frac{-u'}{u^2} = \frac{1}{u}+ \frac{1}{u^2} }\)
A to jest równaniem liniowym:
\(\displaystyle{ u'+u=-1}\)