Równanie różniczkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 27 razy

Równanie różniczkowe

Post autor: math196 »

Mam takie równanie Riccatiego :
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{2x})y +y^2$$
Całka szczególna to $$y_1=-e^{x}$$
Robię podstawienie do wzoru $$y=y_1+ \frac{1}{u} $$
Liczę pochodną $$y'=-e^{x}+ ( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx} $$
I podstawiam do wyjściowego równania
$$-e^{x}+( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx}=e^{2x} -e^x + \frac{1}{u} -2e^{3x} + \frac{2}{u} e^{2x} + \frac{1}{u^2} - \frac{2}{u} e^{x}+e^{2x}$$
Skróci się tylko $$-e^{x} $$ i tyle. Powinno się więcej skrócić, ale niestety nie widzę co tutaj jest nie tak. Jak to przekształcić by sprowadzić do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs »

math196 pisze: 26 lis 2021, o 11:01 Liczę pochodną $$y'=-e^{x}+ ( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx} $$
\(\displaystyle{ y'=-e^{x}+ ( \frac{-1}{u^2}) \frac{du}{dx}}\)
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 27 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: math196 »

kerajs pisze: 26 lis 2021, o 11:31
math196 pisze: 26 lis 2021, o 11:01 Liczę pochodną $$y'=-e^{x}+ ( \frac{1}{u^2}) \frac{du}{dx} $$
\(\displaystyle{ y'=-e^{x}+ ( \frac{-1}{u^2}) \frac{du}{dx}}\)
A tak rzeczywiście zabrakło mi minusa. Ale to dalej nic nie zmienia, bo dalej nie widzę co mogło by się skrócić.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs »

math196 pisze: 26 lis 2021, o 11:01 Mam takie równanie Riccatiego :
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{2x})y +y^2$$
Całka szczególna to $$y_1=-e^{x}$$
Łatwo sprawdzić że wskazana całka nie jest rozwiązaniem tego równania

Możliwe, iż miało być:
$$y'=e^{2x} +(1-2e^{2x})y +y^2$$
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5683
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 523 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 »

Bo to nie jest żadne rozwiązanie szczególne...

Ani zamiana plusa na minus w nawiasie wiele nie uratuje sytuacji
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 27 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: math196 »

arek1357 pisze: 26 lis 2021, o 13:07 Bo to nie jest żadne rozwiązanie szczególne...

Ani zamiana plusa na minus w nawiasie wiele nie uratuje sytuacji
Czyli wychodzi na to, że nie da się tego rozwiązać ? Chyba musiała by być tutaj inna dobrana ta całka szczególna. Tak mi się przynajmniej wydaje.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5683
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 523 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: arek1357 »

Ja nie mówię, że się nie da rozwiązać ale wychodzą rzeczy kosmiczne wrzuć jedno albo drugie na wolframa czy tam gdzie to powychodzą ci jakieś funkcje specjalne ale to nie jest jeszcze najgorsze tylko w zatrważającej ilości...
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs »

arek1357 pisze: 26 lis 2021, o 13:07 Ani zamiana plusa na minus w nawiasie wiele nie uratuje sytuacji
Zgadza się.

Jednak sugerowaną zmianą w równaniu miało być:
$$y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2$$
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7906
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: janusz47 »

Zmiana kolejności składników równania nie przybliża do jego rozwiązania.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8567
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: kerajs »

Gdyby równaniem było:
\(\displaystyle{ y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2}\)
to \(\displaystyle{ y_1=-e^x}\) spełnia to równanie , a podstawienie \(\displaystyle{ y=-e^x+ \frac{1}{u} }\) daje:
\(\displaystyle{ \frac{-u'}{u^2} = \frac{1}{u}+ \frac{1}{u^2} }\)
A to jest równaniem liniowym:
\(\displaystyle{ u'+u=-1}\)
math196
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 13 maja 2019, o 12:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 27 razy

Re: Równanie różniczkowe

Post autor: math196 »

kerajs pisze: 27 lis 2021, o 11:42 Gdyby równaniem było:
\(\displaystyle{ y'=e^{2x} +(1+2e^{x})y +y^2}\)
to \(\displaystyle{ y_1=-e^x}\) spełnia to równanie , a podstawienie \(\displaystyle{ y=-e^x+ \frac{1}{u} }\) daje:
\(\displaystyle{ \frac{-u'}{u^2} = \frac{1}{u}+ \frac{1}{u^2} }\)
A to jest równaniem liniowym:
\(\displaystyle{ u'+u=-1}\)
Faktycznie ta mała zmiana powoduje, że da się to rozwiązać dla tej całki szczególnej. Ma to sens. Dzięki za pomoc.
ODPOWIEDZ