Ciągłość oraz różniczkowalność funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Ciągłość oraz różniczkowalność funkcji

Post autor: bedbet »

Dana jest funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 4x+m &\text{dla } x<1\\kx^{2}+2x&\text{dla } x\geq 1 \end{cases}}\)

Wyznacz takie wartości parametrów \(\displaystyle{ k, m \ \left(k, m\in\mathbb{R}\right)}\), dla których funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różniczkowalna w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Wiem, że trzeba liczyć pochodne jednostronne z definicji (a zwłaszcza lewostronną) i następnie "uruchomić" warunek z ciągłością. Po wykonaniu obliczeń wychodzi poprawny wynik. Niemniej jednak już kilkakrotnie spotkałem się, że nauczyciele od razu zapisywali warunek:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4=2k+2&\\4+m=k+2 \end{cases}}\)

Na pierwszy rzut oka to wygląda źle, gdyż pochodna w punkcie to nie to samo co granica z pochodnej do tego punktu, ale jeśli jest ciągłość to wtedy okaże się, że jednak tak w istocie rzeczy jest. Czy można tak to rozwiązać bez liczenia pochodnej (lewostronnej) z definicji?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ciągłość oraz różniczkowalność funkcji

Post autor: a4karo »

W tym przypadku drugie równanie zapewnia ciągłość, a pierwsze równość granic pochodnych (co w połączeniu z ciągłością gwarantuje różniczkowalność)

Może się zdarzyć, że tak napisany układ równań nie będzie miał rozwiązań
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: Ciągłość oraz różniczkowalność funkcji

Post autor: bedbet »

A czy może zdarzyć się tak, że taki układ nie będzie miał rozwiązań, a licząc z definicji wyjdą rozwiązania? Podczas liczenia tego z definicji kolejność ma znaczenie. Okazuję się bowiem, że to pierwsze równanie (równość pochodnych jednostronnych) uzyskam z drugiego równania (ciągłość w punkcie). Jednym słowem, czy znajdę kontrprzykład pokazujący, że liczenie z definicji doprowadzi mnie do wyniku, a licząc tak skrótowo nie otrzymam szukanych parametrów?
ODPOWIEDZ